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导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）第1章直角三角形,1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用;（重点）2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．（难点）学习目标,导入新课问题引入问题1如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ABCDA'C',问题2将剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？,动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.结论：短直角边=斜边讲授新课含30°角的直角三角形的性质活动探究,ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.合作探究,证明：取线段AB的中点D，连接CD.∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，30°BCAD∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD为等边三角形，证法1证明方法：中线法,证法2证明：在△ABC中，∵ ∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD是等边三角形．ABCD证明方法：倍长法∴BC=AB．30°),EABC证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．证明方法：截半法证法330°),知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.应用格式：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，ABC∴BC=AB．)30°,(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． (2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√判一判,例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.,例2已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．,例3：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向上，且与轮船相距海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？OBDA北东60°解：∵∠AOD=30°，AO=海里，∴AD=AO=海里＞20海里，所以无危险.,解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD=AB=BD=AD,即△BDC为等边三角形,∴∠B=60°.∵∠B+∠A=90°，∴∠A=30°.思考：如图，在Rt△ABC中，如果BC=AB，那么∠A等于多少？BCAD,知识要点在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.应用格式：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，ABCBC=AB．)30°∴∠A=30°,例4：如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度数．解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.,当堂练习1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米B,2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B,3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.ABCD1,4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=.55.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______.ACB8cm第5题图,6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠B=∠EAB=15°，∴∠AEC=30°，∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．,7.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明:∵AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点,∴AD⊥BC∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED==90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.,ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.8.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE有多长.,9.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.拓展提升∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，,∴∠CAD=∠ABE,∠BAP+∠CAD=60°.∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，,课堂小结内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）使用要点含30°角的直角三角形的性质找准30°的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中
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