资料简介
*17.4 一元二次方程的根与系数的关系1.掌握一元二次方程的根与系数的关系;(重点)2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.(难点) 一、情境导入解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系?(1)x2-2x=0;(2)x2+3x-4=0;(3)x2-5x+6=0.方程x1x2x1+x2x1·x2x2-2x=0x2+3x-4=0x2-5x+6=0二、合作探究探究点一:一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系,求方程3x2+6x-1=0的两根之和、两根之积.解析:由一元二次方程根与系数的关系可求得.解:这里a=3,b=6,c=-1.Δ=b2-4ac=62-4×3×(-1)=36+12=48>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-2,x1·x2=-.方法总结:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2-4ac≥0,有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=.探究点二:一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个不相等的实数根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(1)(x1+2)(x2+2); (2)+.解析:先确定a,b,c的值,再求出x1+x2与x1x2的值,最后将所求式子做适当变形,把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.解:根据根与系数的关系,得x1+x2=-2,x1x2=-.(1)(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-+2×(-2)+4=-;
(2)+====-.方法总结:先确定a,b,c的值,再求出x1+x2与x1x2的值,最后将所求式子做适当的变形,把x1+x2与x1x2的值整体带入求解即可.【类型二】已知方程一根,利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值.解析:由方程5x2+kx-6=0可知二次项系数和常数项,所以可根据两根之积求出方程另一个根,然后根据两根之和求出k的值.解:设方程的另一个根是x1,则2x1=-,∴x1=-.又∵x1+2=-,∴-+2=-,∴k=-7.方法总结:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),当已知二次项系数和常数项时,可求得方程的两根之积;当已知二次项系数和一次项系数时,可求得方程的两根之和.【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,求m的值.解析:利用韦达定理表示出α+β,αβ,再由+=-1建立方程,求m的值.解:∵α、β是方程的两个不相等的实数根,∴α+β=-(2m+3),αβ=m2.又∵+===-1,化简整理,得m2-2m-3=0.解得m=3或m=-1.当m=-1时,方程为x2+x+1=0,此时Δ=12-4<0,方程无解,∴m=-1应舍去.当m=3时,方程为x2+9x+9=0,此时Δ=92-4×9>0,方程有两个不相等的实数根.综上所述,m=3.易错提醒:本题由根与系数的关系求出字母m的值,但一定要代入判别式验算,字母m的取值必须使判别式大于0,这一点很容易被忽略.三、板书设计
让学生经历探索,尝试发现韦达定理,感受不完全的归纳验证以及演绎证明.通过观察、实践、讨论等活动,经历发现问题、发现关系的过程,养成独立思考的习惯,培养学生观察、分析和综合判断的能力,激发学生发现规律的积极性,激励学生勇于探索的精神.通过交流互动,逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.
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