首页 > 试卷 > 初中 > 语文 > 福建省三明市宁化县2022年初中数学学业质量检查试卷（解析版） 新人教版
资料简介
2022年福建省三明市宁化县初中学业质量检查数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）（2022•宁化县质检）研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（ ） A．0.156×10﹣5B．0.156×105C．1.56×10﹣6D．1.56×106考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.00000156=1.56×10﹣6；故选：C．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2．（4分）（2022•广安）由四个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从上面看所得到的图形即可．解答：解：从物体上面看，是三个正方形左右相邻，故选C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 3．（4分）（2022•漳州）下列运算正确的是（ ） A．a3÷a2=aB．a3+a2=a5C．（a3）2=a5D．a2•a3=a6考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、a3÷a2=a，正确；B、a3与a2是相加，不是相乘，所以不能利用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；C、应为（a3）2=a3×2=a6，故本选项错误；D、应为a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误．故选A．点评：本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键． 154．（4分）（2022•漳州）下列命题是假命题的是（ ） A．等角的补角相等B．内错角相等 C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线考点：命题与定理．分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答：解：A、正确，根据平角的定义可以证明；B、错误，两直线平行，内错角相等；C、正确，是两点间距离的定义；D、正确，符合确定直线的条件．故选B．点评：本题考查了平行线的性质、等角的补角相等、两点之间，线段最短和两点确定一条直线等知识． 5．（4分）（2022•德城区）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ） 型号2222.52323.52424.525数量（双）351015832 A．平均数B．众数C．中位数D．方差考点：统计量的选择．专题：压轴题；图表型．分析：根据题意可得：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大，即各型号的鞋的众数．解答：解：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大，而众数是数据中出现次数最多的数，故鞋店经理关心的是这组数据的众数．故选B．点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 6．（4分）（2022•漳州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集．专题：压轴题．分析：先求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．解答：解：不等式组可化为：所以在数轴上表示为：故选B．点评：15本题考查不等式组解集的求法和表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．（4分）（2022•宁化县质检）若双曲线y=分布在二、四象限，则k的值可为（ ） A．0B．1C．2D．3考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数y=的性质得到k﹣1＜0，然后解不等式得到k的范围，再对四个选项进行判断．解答：解：根据题意得k﹣1＜0，解得k＜1．故选A．点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限． 8．（4分）（2022•龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A．4B．3C．2D．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：仔细分析题目，可证明△EFB≌△EFC，所以图中阴影部分的面积等于△ABD的面积，再根据等边三角形的性质，△ABD的面积等于△ABC面积的一半，边长为4的等边三角形ABC的面积，S△ABC=4，所以图中阴影部分的面积是2．解答：解：∵等边三角形ABC，AD⊥BC∴BD=DC，∠CDF=∠BDF=90°∴△BDF≌△CDF同理可证：△BDE≌△CDE△ABD≌△ACD∴△BEF≌△CEF△ABE≌△ACE∴S阴影=S△ABC=×∵AB=4，AD==215∴S阴影==．故选C．点评：本题主要考查等边三角形的面积求法，得出阴影部分的面积等于△ABD的面积是解题的关键． 9．（4分）（2022•成都）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量（ ） A．20kgB．25kgC．28kgD．30kg考点：一次函数的应用．专题：压轴题．分析：根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y=0时，x对应的值即可．解答：解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意可知，所以k=30，b=﹣600，所以函数关系式为y=30x﹣600，当y=0时，即30x﹣600=0，所以x=20．故选A．点评：本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，是一道难度中等的题目． 10．（4分）（2022•安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A．10B．C．10或D．10或考点：图形的剪拼．专题：压轴题．分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．解答：解：①如图：15因为CD==2，点D是斜边AB的中点，所以AB=2CD=4，②如图：因为CE==5，点E是斜边AB的中点，所以AB=2CE=10，原直角三角形纸片的斜边长是10或，故选C．点评：此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请将答案填入答题卡的相应位置）11．（4分）（2022•宁化县质检）计算：= 1 ．考点：实数的运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及负指数幂、绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=﹣1=2﹣1=1．故答案为1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握负指数幂、绝对值等考点的运算． 12．（4分）（2022•宁化县质检）因式分解：x2﹣4x+4= （x﹣2）2 ．15考点：因式分解-运用公式法．分析：直接运用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答：解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 13．（4分）（2022•安徽）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 60 °．考点：圆周角定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．解答：解：连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B=∠AOC，∵∠AOC=2∠ADC，∴∠B=2∠ADC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴3∠ADC=180°，∴∠ADC=60°，∴∠B=∠AOC=120°，∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 14．（4分）（2022•宁化县质检）若x，y为实数，且满足（x﹣3）2+=0，则的值是 ﹣1 ．15考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣3=0，y+3=0，解得x=3，y=﹣3，所以，（）2022=（）2022=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 15．（4分）（2022•泉州）圆锥底面周长为2π米，母线长为4米，则它的侧面展开图的面积为 4π 平方米．（结果保留π）考点：圆锥的计算．专题：压轴题．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的面积=×2π×4=4πm2．点评：本题利用了扇形面积公式求解． 16．（4分）（2022•宁化县质检）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+1得a3；…依此类推，则a2022= 122 ．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：计算出前几个数便不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2022除以3正好能够整除可知a2022与a3的值相同．解答：解：根据题意，n1=5，a1=n12+1=52+1=26，n2=2+6=8，a2=n22+1=82+1=65，n3=6+5=11，a3=n32+1=112+1=122，n4=2+2+1=5，a4=n42+1=52+1=26，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，∵2022÷3=671，∴a2022是第671组的最后一个数，与a3相同，为122．故答案为：122．点评：本题是对数字变化规律的考查，通过计算观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（共7题，满分86分，请将解答过程写在答题卡的相应位置）17．（14分）（2022•宁化县质检）（1）解方程组：（2）化简：a（1﹣a）+（a+1）2﹣1．15考点：整式的混合运算；解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）两方程相减消去y求出x的值，进而求出y的值，即可确定出方程组的解；（2）原式去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）由①﹣②得x=2，将x=2代入①得，y=﹣1，∴原方程组的解为；（2）原式=a﹣a2+a2+2a+1﹣1=3a．点评：此题考查了整式的混合运算，以及解二元一次方程组，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（8分）（2022•宁化县质检）如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且AF=CE．请你猜想线段BE与DF之间的关系，并加以证明．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：由AF=CE可得AE=CF，再结合平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，从而得出BE=DF．解答：解：BE=DF，BE∥DF．证明：∵AF=CE，∴AF﹣EF=CE﹣EF．∴AE=CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠BAE=∠DCF．∴△ABE≌△CDF（SAS）．∴BE=DF，∠BAE=∠DCF，∴BE∥DF．∴BE=DF，BE∥DF．点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题． 19．（8分）（2022•宁化县质检）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡AC，我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端A的仰角为26.6°，以及该斜坡坡度是tanα=，求该岛礁的高AB（结果取整数）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）15考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：根据tanα=，可设AB=3x（米），BC=4x（米），继而表示出AB、BD的长度，再由tan26.6°≈0.50，可得关于x的方程，解出即可得出答案．解答：解：在Rt△ABC中，，故可设AB=3x（米），BC=4x（米），在Rt△ADB中，∠D=26.6°，BD=200+4x（米），∴，解得：x=100，则3x=300．答：该岛礁的高AB为300米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义，表示相关线段的长度． 20．（10分）（2022•宁化县质检）据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区的一个环保组织在2022年4月份随机问卷了一些民众，对垃圾分类所持态度进行调查，将调查结果绘成扇形图（如图）．（1）扇形图中，表示持“一般”态度的民众所占比例的扇形的圆心角度数是 36° ；（2）这次随机调查中，如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，那么在这一地区随机访问一个公民，他（她）是“垃圾分类支持者”的概率大约是 0.7 ．（3）2022年4月，该环保组织又进行了一次同样的调查，发现“垃圾分类支持者”占到了调查人数的84.7%，那么这两年里“垃圾分类支持者”的年平均增长率大约是多少？考点：一元二次方程的应用；扇形统计图；概率公式．专题：增长率问题．分析：（1）根据题意，把参与调查的总人数看作单位“1”，可用单位“1”分别减去18%、39%、31%进行计算即可得到答案；（2）可用“支持”占总人数的百分数乘参与调查的总人数即可得到答案；（3）根据增长率问题列出方程求解即可．解答：解：（1）表示一般的所占的百分比为1﹣20%﹣39%﹣31%=10%，15其扇形的圆心角为360°×10%=36°；（2）很赞同和赞同的共占31%+39%=70%∴他（她）是“垃圾分类支持者”的概率大约是0.7；（3）设这两年里“支持者”的年平均增长率大约是x，依题意得：70%（1+x）2=84.7%解得：x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）答：这两年里“垃圾分类支持者”的年平均增长率大约是10%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用、概率公式及扇形统计图的有关知识，在解题时要注意综合利用这两种统计图是本题的关键． 21．（10分）（2022•宁化县质检）“一方有难，八方支援”．在四川雅安部分县区发生了7.0级大地震之后，某地政府迅速组织了20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据下表提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量（吨）654每吨所需运费（元/吨）120160100（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案．考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，则装运生活用品的车辆数为（20﹣x﹣y）辆，根据20辆车总共装运的吨数为100吨建立等式，表示出y即可；（2）根据（1）未知数和不相等的数量关系建立不等式组求出其解即可．解答：解：（1）根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，则装运生活用品的车辆数为（20﹣x﹣y），由题意，得6x+5y+4（20﹣x﹣y）=100，整理得，y=﹣2x+20．∴y与x的函数关系式为：y=﹣2x+20；（2）由题意，得，解得：5≤x≤8，∵x为整数，所以x的值为5，6，7，8．∴安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．点评：本题考查了二元一次方程与一次函数的关系的运用，列不等式组解方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 22．（10分）（2022•宁化县质检）如图，Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3；半径为1的⊙P的圆心P在AC边上移动．（1）当AP为多长时，⊙P与AB相切？（如有需要，可用图1分析）（2）如图2，当⊙P运动到与边BC相交时，记交点为E，连结PE，并作PD⊥AC交AB于点D，问：四边形PDBE可能为平行四边形吗？若可能，求出此时AP的长；若不可能，说明理由．）15考点：圆的综合题．分析：（1）根据切线的性质得出当PF=1时，⊙P与AB相切，利用相似三角形的判定与性质得出即可；（2）根据平行四边形的判定，得出当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形，由PE∥AB得，△PCE∽△ACB，进而求出即可．解答：解：（1）过P作PF⊥AB于点F．由⊙P的半径为1得，当PF=1时，⊙P与AB相切．由∠A是公共角，∠PFA=∠C=90°，得△APF∽△ABC，∴，其中，由AC=4、BC=3得AB=5∴AP=；（2）∵由PD⊥AC，∠C=90°，得PD∥BC，∴当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形． 由PE∥AB得，△PCE∽△ACB，∴设AP=x，得PC=4﹣x∴由PE=1，AB=5得，解得x=，因此，四边形PDBE是平行四边形，此时AP的长为．点评：15此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练利用平行四边形的性质得出是解题关键． 23．（12分）（2022•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．（3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果精确到0.001）考点：二次函数综合题．分析：（1）先根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出P点坐标为（1，﹣3），再设原抛物线的顶点解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，将A点坐标（，0）代入，运用待定系数法即可求出原抛物线的解析式；（2）假设存在满足题意的点（x，y），其关于原点对称的点为（﹣x，﹣y），将这两点的坐标分别代入（1）中所求的解析式，得到关于x、y的方程组，通过解方程组即可判断；（3）先由P′（1，3）在CD上，可知“W”图案的高为3，再结合CD∥x轴的条件，得出C、D两点纵坐标为3，解方程（x﹣1）2﹣3=3，得到C、D两点横坐标的值，然后求出CD的长度，则“W”图案的高与宽（CD）的比为，代入计算即可．解答：解：（1）∵顶点P与P′（1，3）关于x轴对称，∴P点坐标为（1，﹣3）；∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，∵已知该抛物线过点A（，0），∴a（﹣）2﹣3=0，解得a=1，∴y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣2x﹣2；（2）假设存在满足题意的点（x，y），其关于原点对称的点为（﹣x，﹣y），则，解得，，∴存在满足题意的点为（﹣，2）和（，﹣2）；（3）∵CD∥x轴，P′（1，3）在CD上；∴C、D两点纵坐标为3，有（x﹣1）2﹣3=3，15解得：x1=1﹣，x2=1+，∴CD=（1+）﹣（1﹣）=2，∴“W”图案的高与宽（CD）的比为：=≈0.612．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，平行于坐标轴上的两点之间的距离，综合性较强，难度不大．求出原抛物线的解析式是解题的关键． 24．（14分）（2022•盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为 垂直 ，数量关系为 相等 ．②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC=2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．考点：全等三角形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）可通过证明三角形ABC和三角形ACF全等来实现．因为AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°﹣∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．15（2）可通过构建三角形来求解．过点A作AG⊥AC交BC于点G，如果CF⊥BD，那么∠ACF=∠AGD=90°﹣∠ACD，又因为∠GAD=∠CAE=90°﹣∠CAD．AG=AC那么根据AAS可得出△AGD≌△ACF，AG=AC，又因为∠GAC=90°，可得出∠BCA=45°．因此△BAC满足∠BCA=45°时，CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，通过构建与线段相关的三角形相似来求解．图中我们可以看出∠ADQ+∠PDC=90°，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC，那么可得出关于CP、CD、AQ、QD的比例关系，因为∠BCA=45°，∠Q=90°，那么AQ=QC=2，如果设CD=x，那么可用x表示出CD、QD，又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例关系，那么可得出关于CP和x的函数关系式，然后根据函数的性质和x的取值范围求出CP的最大值．解答：解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD∠ACF=∠ABD∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（3）当具备∠BCA=45°时，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图），∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA=45°，AC=2，∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．设CD=x，∴DQ=2﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°且∠ADE=90°，∴∠ADQ+∠PDC=90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°∴∠ADQ=∠DPC，∵∠AQD=∠DCP=90°∴△AQD∽△DCP，∴=，∴．∴CP=x2+x=（x﹣1）2+．∵0＜x≤，∴当x=1时，CP有最大值．15点评：本题中综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及函数关系式等综合知识．本题的关键是根据题意通过作辅助线来构建出和已知，所求等条件相关的三角形，然后通过相似，全等等知识来求解． 15
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