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2021-2022学年第二学期七年级数学期中模拟卷（3）测试范围：七年级下册7—10章满分：130分测试时间：120分钟一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列运算中，计算正确的是（ ）A．（3a2）3＝27a6B．（a2b）3＝a5b3C．x6+x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b22．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（ ）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣83．现有两根笔直的木棍，它们的长度是20cm和30cm，若不改变木棍的长度，要做一个三角形的木框，则第三根木棍的长度可能为（ ）A．10cmB．20cmC．50cmD．60cm4．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）A．136°B．102°C．122°D．112°5．若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（ ）A．5B．﹣5C．3D．﹣36．下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（ ）A．a2﹣1B．a2+2a+1C．a2+4D．9a2﹣6a+17．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）A．32°B．45°C．60°D．64°23
8．方程（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，则（ ）A．m＝±1009；n＝±3B．m＝1009，n＝3C．m＝﹣1009，n＝﹣3D．m＝﹣1009，n＝39．如图，∠A＝40°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（ ）A．80°B．100°C．110°D．140°10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）A．180°B．260°C．270°D．360°二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．分解因式：8ab3c+2ab＝ ．12．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 cm．13．已知y2+ky+64是一个完全平方式，则k的值是 ．14．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，则这个多边形的边数为 ．15．已知（x+a）（x2﹣x）的展开式中不含x2项，则a＝ ．16．若2x＝3，4y＝6，则2x+2y的值为 ．17．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．18．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是 ．23
三．解答题（共10小题，满分76分）19．（9分）计算：（1）（﹣3）0+（）﹣2+（﹣2）3；（2）（﹣2a3）2•3a3+6a12÷（﹣2a3）；（3）（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）2．20．（9分）将下列各式分解因式：（1）x2+2x﹣15；（2）2x2y﹣8xy2+8y3；（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2．21．（8分）解方程组：（1）；（2）．22．（5分）化简与求值：[（2a﹣b）2+（2a+b）（2a﹣b）]÷2a，其中a＝﹣1，b＝2．23．（8分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上．请分别按下列要求完成解答：（1）平移△ABC，使顶点A平移到D处，画出平移后的△DEF．（2）画出△ABC的高CM，中线AN；23
（3）BE与AD有什么关系？（4）求出△DEF的面积．24．（6分）综合探究：已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．25．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组的解适合方程x+y＝6，求n的值．26．（6分）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3．（1）求a2+b2、ab的值；（2）求a4+b4的值．23
27．（9分）探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．28．（10分）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．23
答案与解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ）A．（3a2）3＝27a6B．（a2b）3＝a5b3C．x6+x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b2【分析】根据积的乘方和幂的乘方、合并同类项的法则、完全平方公式进行计算即可．【解答】解：A、（3a2）3＝27a6，故A正确；B、（a2b）3＝a6b3，故B错误；C、x6与x2不是同类项，不能合并，故C错误；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．2．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（ ）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）现有两根笔直的木棍，它们的长度是20cm和30cm，若不改变木棍的长度，要做一个三角形的木框，则第三根木棍的长度可能为（ ）A．10cmB．20cmC．50cmD．60cm【分析】先设第三根木棒的长为lcm，再根据三角形的三边关系求出l的取值范围，找出符合条件的l的值即可．23
【解答】解：设第三根木棒的长为lcm，∵两根笔直的木棍，它们的长度分别是20cm和30cm，∴30cm﹣20cm＜l＜30cm+20cm，即10cm＜l＜50cm．∴四个选项中只有B符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）A．136°B．102°C．122°D．112°【分析】根据折叠的性质和平角的定义，可以得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF的度数．【解答】解：由折叠的性质可得，∠2＝∠3，∵∠1＝44°，∴∠2＝∠3＝68°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠3＝180°，∴∠AEF＝112°，故选：D．【点评】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（3分）若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（ ）A．5B．﹣5C．3D．﹣323
【分析】先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25，得到关于m的一次方程，求解即可．【解答】解：（2x﹣m）（3x+5）＝6x2﹣3mx+10x﹣5m＝6x2+（10﹣3m）x﹣5m．∵积的一次项系数为25，∴10﹣3m＝25．解得m＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．6．（3分）下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（ ）A．a2﹣1B．a2+2a+1C．a2+4D．9a2﹣6a+1【分析】直接利用公式法分别分解因式进而得出答案．【解答】解：A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），可以运用公式法分解因式，不合题意；B、a2+2a+1＝（a+1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；C、a2+4，无法利用公式法分解因式，符合题意；D、9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了公式法，正确运用乘法公式是解题关键．7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）A．32°B．45°C．60°D．64°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°23
，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故选：D．【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）方程（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，则（ ）A．m＝±1009；n＝±3B．m＝1009，n＝3C．m＝﹣1009，n＝﹣3D．m＝﹣1009，n＝3【分析】依据二元一次方程的定义得到m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，依此求解即可．【解答】解：∵（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，∴m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，解得：m＝﹣1009，n＝3．故选：D．【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．9．（3分）如图，∠A＝40°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（ ）23
A．80°B．100°C．110°D．140°【分析】根据三角形的内角和定理求得∠ADE+∠AED，再由折叠的性质得∠ADF+∠AEF的度数，最后根据平角的性质求得结果．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝140°，由折叠知，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，∴∠ADF+∠AEF＝2（∠ADE+∠AED）＝280°，∴∠FDB+∠FEC＝180°﹣∠ADF+180°﹣∠AEF＝360°﹣280°＝80°，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的性质，折叠的性质，关键是求得∠ADF+∠AEF的度数．10．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）A．180°B．260°C．270°D．360°【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，由此不难证明结论．【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，23
故选：A．【点评】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）分解因式：8ab3c+2ab＝ 2ab（4b2c+1） ．【分析】提取公因式2ab进行分解即可．【解答】解：原式＝2ab（4b2c+1）．故答案为：2ab（4b2c+1）．【点评】本题考查了提公因式法．解题的关键是熟练掌握提公因式法的运用．如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．12．（3分）等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为 6或8 cm．【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．【解答】解：①6cm是底边时，腰长（20﹣6）＝7cm，此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，能组成三角形，②6cm是腰长时，底边＝20﹣6×2＝8cm，此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，能组成三角形，综上所述，底边长为6或8cm．故答案为：6或8．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．13．（3分）已知y2+ky+64是一个完全平方式，则k的值是 ±16 ．【分析】根据完全平方公式的特点求解．【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式，∵64＝（±8）2，∴原式可化成＝（y±8）2，展开可得y2±16y+64，∴ky＝±16y，23
∴k＝±16．故答案为：±16．【点评】本题利用了完全平方公式求解：（a±b）2＝a2±2ab+b2．注意k的值有两个，并且互为相反数．14．（3分）一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，则这个多边形的边数为 14 ．【分析】依据多边形的内角和公式列方程求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°+360°＝2520°．解得：n＝14．故这个多边形的边数为14．故答案为：14．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，依据题意列出方程是解题的关键．15．（3分）已知（x+a）（x2﹣x）的展开式中不含x2项，则a＝ 1 ．【分析】利用多项式乘多项式法则展开已知整式，根据展开式中不含x2项确定a的值．【解答】解：（x+a）（x2﹣x）＝x3+ax2﹣x2﹣ax＝x3+（a﹣1）x2﹣ax．∵展开式中不含x2项，∴a﹣1＝0．即a＝1．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式法则，理解展开式中不含x2项是解决本题的关键．16．（3分）若2x＝3，4y＝6，则2x+2y的值为 18 ．【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，将2x+2y变形为2x•4y即可．【解答】解：因为2x＝3，4y＝6，所以2x+2y＝2x•22y＝2x•4y＝3×6＝18，故答案为：18．23
【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．17．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 2 ．【分析】由题意可得x+y＝0，它与方程组中的第二个方程组成一个新的方程组，先求出x、y的值，再代入组中第一个方程求出k．【解答】解：∵x，y的二元一次方程组的解互为相反数，∴x+y＝0．解方程组，得．把x＝3，y＝﹣3代入方程3x+2y＝k+1，得9﹣6＝k+1，解得k＝2．故答案为2．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解决本题的关键．18．（3分）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是 70° ．【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∴∠B＝∠CAO，设∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，23
则有，解得，∴∠C＝70°，故答案为70°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．三．解答题（共10小题，满分76分）19．（9分）计算：（1）（﹣3）0+（）﹣2+（﹣2）3；（2）（﹣2a3）2•3a3+6a12÷（﹣2a3）；（3）（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）2．【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂和乘方，再计算加减可得；（2）先计算乘方，再计算乘法，最后合并即可得；（3）先利用多项式乘多项式、完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可得．【解答】解：（1）原式＝1+9﹣8＝2；（2）原式＝4a6•3a3﹣3a9＝9a9；（3）原式＝x2﹣2x+x﹣2﹣（x2﹣4x+4）＝x2﹣2x+x﹣2﹣x2+4x﹣4＝3x﹣6．【点评】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算法则及整式的混合运算顺序和运算法则．20．（9分）将下列各式分解因式：（1）x2+2x﹣15；（2）2x2y﹣8xy2+8y3；（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2．【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；23
（2）首先提取公因式2y，再利用完全平方进行分解即可；（3）利用平方差进行分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+5）（x﹣3）；（2）原式＝2y（x2﹣4xy+4y2）＝2y（x﹣2y）2；（3）原式＝（3x+6y）2﹣（2x﹣2y）2．＝（3x+6y+2x﹣2y）（3x+6y﹣2x+2y）＝（5x+4y）（x+8y）．【点评】此题主要考查了提公因式法、公式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．21．（8分）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1），①+②×5得：13x＝26，解得：x＝2，把x＝2代入②得：y＝1，则方程组的解为；（2），①+②得：3x+4y＝24④，②+③得：6x﹣3y＝15，即2x﹣y＝5⑤，④+⑤×4得：11x＝44，23
解得：x＝4，把x＝4代入④得：y＝3，把x＝4，y＝3代入②得：z＝8，则方程组的解为．【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．22．（5分）化简与求值：[（2a﹣b）2+（2a+b）（2a﹣b）]÷2a，其中a＝﹣1，b＝2．【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，再算加减，最后计算除法，化简后，再代入a、b的值即可．【解答】解：原式＝（4a2﹣4ab+b2+4a2﹣b2）÷2a＝（8a2﹣4ab）÷2a＝4a﹣2b．当a＝﹣1，b＝2时，原式＝﹣4﹣4＝﹣8．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算顺序．23．（8分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上．请分别按下列要求完成解答：（1）平移△ABC，使顶点A平移到D处，画出平移后的△DEF．（2）画出△ABC的高CM，中线AN；（3）BE与AD有什么关系？（4）求出△DEF的面积．【分析】（1）根据平移性质即可平移△ABC，使顶点A平移到D处，进而画出平移后的△DEF；23
（2）根据网格即可画出△ABC的高CM，中线AN；（3）结合（1）和（2）即可得BE与AD的关系；（4）根据网格即可求出△DEF的面积．【解答】解：（1）如图，即为平移后的△DEF；（2）如图，高CM，中线AN即为所求；（3）BE与AD的关系为：平行且相等；（4）△DEF的面积为：251×35×52×4﹣1×2＝5．【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．24．（6分）综合探究：已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．【分析】（1）如图1，过点G作GH∥AB，根据AB∥CD，可得GH∥AB∥CD，进而可得∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，过过点G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，根据GK∥AB，AB∥CD，可得GK∥CD，根据平行线的性质可得∠QPN＝∠DNP＝α，所以∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，进而可求∠MGN+∠MPN的度数．23
【解答】解：（1）如图1，过点G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵GM⊥GN，∴∠MGN＝∠MGH+∠HGN＝∠AMG+∠CNG＝90°；答：∠AMG+∠CNG的度数为90°；（2）如图2，过过点G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝40°，∴∠MGK＝∠BMG＝40°，∵MG平分∠BMP，∴∠GMP＝∠BMG＝40°，∴∠BMP＝80°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°．【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．25．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组的解适合方程x+y＝6，求n23
的值．【分析】根据二元一次方程组以及一元一次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵，∴解得：∵x+y＝6，∴6，∴解得：n＝116；【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用二元一次方程组以及一元一次方程的解法，本题属于基础题型．26．（6分）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3．（1）求a2+b2、ab的值；（2）求a4+b4的值．【分析】（1）根据完全平方公式展开，两个式子相减或相加，合并同类项，再系数化为1即可求解．（2）依据a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2，进行计算即可．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝7，①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3，②∴由①+②，可得2（a2+b2）＝10，∴a2+b2＝5．由①﹣②，可得4ab＝4，∴ab＝1；（2）∵ab＝1，∴a2b2＝1，∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝25﹣2×1＝23．【点评】本题主要考查了完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，23
b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．27．（9分）探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 C A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ 220° （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ∠1+∠2＝180°+∠A （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF23
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．28．（10分）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ 122° ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）23
＝180°﹣（∠ABC∠ACB），＝180°（∠ABC+∠ACB），＝180°（180°﹣∠A），＝180°﹣90°∠A，＝90°+32°＝122°，故答案为：122°；（2）∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线，∴∠1∠ACB，∠2∠ABD，又∵∠ABD是△ABC的一外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠2（∠A+∠ABC）∠A+∠1，∵∠2是△BEC的一外角，∴∠BEC＝∠2﹣∠1∠A+∠1﹣∠1∠A；（3）∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC），∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB），23
结论∠BQC＝90°∠A．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．23
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