资料简介
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一) (20分钟 35分)1.将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.y=sin2xy=sin=sin(2x-π)=-sin(π-2x)=-sin2x.由于-sin(-2x)=sin2x,所以是奇函数. 【补偿训练】 将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=对称D.y=f(x)的图象关于点对称 【解析】选D.函数y=sinx的图象向左平移个单位长度后,得到函数f(x)=sin=cosx的图象,f(x)=cosx为偶函数,周期为2π;又因为f=cos=0,所以f(x)=cosx的图象不关于直线x=对称;又由f=cos=0,知f(x)=cosx的图象关于点对称.2.函数y=sin2x向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式是( )A.y=sin B.y=sin9
C.y=sinD.y=sin【解析】选D.函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,那么所得的图象所对应的函数解析式是y=sin2=sin.3.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin【解析】选D.函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位,所得图象对应的函数为y=2sin=2sin.4.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )【解析】选A.变换后的三角函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A选项正确.5.将函数y=cosx,x∈R的图象向右平移个单位长度,然后保持每个点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的三倍,得到的函数解析式为 . 【解析】将函数y=cosx,x∈R的图象向右平移个单位长度,可得y=cos的图象;然后保持每个点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的三倍,得到的函数解析式为y=cos.答案:y=cos9
6.作出函数y=sin在长度为一个周期的闭区间上的图象.【解析】列表:x-0π2πxπ4π7πy=sin00-0描点画图(如图所示). (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列判断正确的是( )A.将函数y=sin的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sinx的图象B.将函数y=sin3x的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)即可得到函数y=sinx的图象C.将函数y=sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象D.函数y=sin的图象是由函数y=sin4x的图象向右平移个单位长度得到的9
【解析】选B.A错,应该向左平移个单位长度;C错,横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin;D错,应该向右平移个单位长度,只有B正确.2.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:ωx+φ0π2πxy020-20则有( )A.A=2,ω=,φ=0B.A=2,ω=3,φ=C.A=2,ω=3,φ=-D.A=1,ω=2,φ=-【解析】选C.由题干表格得A=2,-=,所以ω=3,所以ωx+φ=3x+φ.当x=时,3x+φ=+φ=0,所以φ=-.3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f=0,则ω的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选A.函数f(x)的周期T≤4=π,则≤π,解得ω≥2,故ω的最小值为2.9
4.设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是( )A.B.C.D.3【解析】选C.y=sin+2y1=sin+2=sinωx+-ω+2.因为y与y1的图象重合,所以-ω=2kπ(k∈Z).所以ω=-k.又因为ω>0,k∈Z,所以k=-1时,ω取最小值为.5.函数y=sin的图象可由函数y=cosx的图象( )A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度【解析】选B.由函数y=sin=cos=cos.只需将函数y=cosx的图象各点的横坐标缩短到原来的倍,得到y=cos2x;再向右平移个单位长度得到y=cos2=cos.二、填空题(每小题5分,共15分)6.将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的图象的解析式为 . 9
【解析】将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到的图象的解析式为y=sin,再向上平移2个单位长度,得到的图象的解析式为y=sin+2.答案:y=sin+27.已知方程2sin+2a-1=0在[0,π]上有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是 . 【解析】由2sin+2a-1=0,得2sin=1-2a,所以原题等价于函数y=2sin的图象与函数y=1-2a的图象在[0,π]上有两个交点,如图,所以≤1-2a<2,解得a∈.答案:8.函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,则φ的最小值为 . 【解析】平移后解析式为y=sin(2x-2φ),图象关于x=对称,所以2×-2φ=kπ+(k∈Z),所以φ=-π-(k∈Z),又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.用“五点法”画函数y=2sin,x∈的简图.9
【解析】因为x∈,所以3x+∈,列表如下:3x+π2πx0y120-201描点,连线得图象如图:10.函数y=5sin+1的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?【解析】方法一:将函数y=sinx的图象依次进行如下变换:(1)把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象;(2)把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象;(3)把得到的图象上各点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),得到函数y=5sin的图象;(4)把得到的图象向上平移1个单位长度,得到函数y=5sin+1的图象.经过上述变换,就得到函数y=5sin+1的图象.方法二:将函数y=sinx的图象依次进行如下变换:9
(1)把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin2x的图象;(2)把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象;(3)把得到的图象上各点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),得到函数y=5sin的图象;(4)把得到的图象向上平移1个单位长度,得到函数y=5sin+1的图象.经过上述变换,就得到函数y=5sin+1的图象.1.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ1,φ2个单位后,所得的图象都关于y轴对称,则φ1,φ2的最小正值分别为( )A., B., C., D.,【解析】选A.函数f(x)的图象向左平移φ1个单位得到函数g(x)=sin的图象,向右平移φ2个单位得函数h(x)=sin的图象,于是2φ1+=+kπ,k∈Z,-2φ2+=+kπ,k∈Z,于是φ1,φ2的最小正值分别为,.2.已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω>0.(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.【解析】(1)因为ω>0,根据题意有⇒0<ω≤,所以ω的取值范围为.9
(2)f(x)=2sin2x,g(x)=2sin2+1=2sin+1,g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相离间隔依次为和,故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.9
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