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正切函数的性质与图象 (20分钟 35分)1.若f(x)=tan(ωx)(ω>0)的最小正周期为1,则f的值为( )A.- B.- C. D.【解析】选D.依题意知,T==1,ω=π,f(x)=tan,所以f=tan=.2.函数y=的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数【解析】选A.由1+cosx≠0,即cosx≠-1,得x≠2kπ+π,k∈Z.又tanx中,x≠kπ+,k∈Z,所以函数y=的定义域关于(0,0)对称.又f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数.3.已知a=tan,b=cos,c=cos,则( )A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b【解析】选D.a=tan>1,b=cos<0,1>c=cos=cos>0,所以a>c>b.4.若函数f(x)=-2tanx+m,x∈有零点,则实数m的取值范围是 . 8
【解析】函数f(x)=-2tanx+m有零点,即方程2tanx=m有解.因为x∈,所以tanx∈[-1,],所以m∈[-2,2].答案:[-2,2]5.已知函数f(x)=tan(x+φ),|φ|<的图象的一个对称中心为,则φ的值为 . 【解析】由于是函数的对称中心,故+φ=π(k∈Z),φ=π-(k∈Z),由于<,故取k=0,1时,φ=-或φ=符合题意.答案:或-6.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相应的x值.【解析】因为-≤x≤,所以-≤tanx≤1,f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1,当tanx=-1即x=-时,f(x)有最小值1,当tanx=1即x=时,f(x)有最大值5. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,同时满足:①在上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是( )A.y=tanx B.y=cosxC.y=tanD.y=|sinx|8
【解析】选A.经验证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数的周期为2π.2.在区间内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示),可以看到在区间内二者有三个交点.3.若函数y=tan在上为减函数,且在上的最大值为,则ω的值可能为( )A.-B.C.-1D.1【解析】选A.由题意,函数y=tan在上为减函数,可得ω<0且-ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=--3k(k∈Z),当k=0时,解得ω=-.4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b【解析】选C.因为-<-1<-,所以a=sin(-1)∈,b=cos(-1)>0,c=tan(-1)<-1.因此,可得c<a<b.5.下列关于函数y=tan的说法正确的是( )A.图象关于点成中心对称8
B.图象关于直线x=成轴对称C.在区间上单调递增D.在区间上单调递增【解析】选D.由题意可知,对于A,当x=时,函数y=tan=-,所以点不是函数的对称中心,所以A不正确;对于B,根据正切函数的性质可知,函数y=tan的图象没有对称轴,所以B不正确;对于C,令-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,即函数的单调递增区间为,k∈Z,当k=1时,函数的单调递增区间为,所以C不正确;当k=0时,函数的单调递增区间为,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=的定义域是 . 【解析】由已知,得,即,则x≠kπ+,k∈Z.答案:7.满足tanx<且x∈的x的集合为 . 【解析】函数y=tanx,x∈的图象为8
由图象可知:0<x<或<x<π时tanx<.答案:或8.y=tan满足下列哪些条件 (填序号). ①在上单调递增;②为奇函数;③以π为最小正周期;④定义域为.【解析】当x∈时,y=tan在上单调递增,正确;tan=-tan,故y=tan为奇函数,因此①②正确;T==2π,所以③不正确;由≠+kπ,k∈Z,得{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以④不正确.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x2+2xtanθ-1,x∈[-1,],其中θ∈.(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.(2)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.【解析】(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,].所以当x=时,f(x)取得最小值,为-;8
当x=-1时,f(x)取得最大值,为.(2)函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为x=-tanθ.因为y=f(x)在区间[-1,]上单调,所以-tanθ≤-1或-tanθ≥,即tanθ≥1或tanθ≤-.又θ∈,所以θ的取值范围是∪.10.已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间.(2)试比较f与f的大小.【解析】(1)因为f(x)=3tan=-3tan,所以函数的最小正周期T=4π.由kπ-<-<kπ+,k∈Z,得4kπ-<x<4kπ+,k∈Z,所以函数y=3tan(-)的单调增区间为,k∈Z,所以函数y=-3tan(-)的单调减区间为,k∈Z,即f(x)的单调减区间为,k∈Z.(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,f=3tan=3tan=-3tan.8
因为0<<<,所以tan<tan,所以-3tan>-3tan,即f(π)>f.1.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是( )【解析】选D.当<x<π时,tanx<sinx,y=2tanx;当x=π时y=0;当π<x<时tanx>sinx,y=2sinx.根据正弦函数和正切函数图象知D正确.2.若函数f(x)=tan2x-atanx的最小值为-6.求实数a的值.【解析】设t=tanx,因为|x|≤,所以t∈[-1,1].则原函数化为:y=t2-at=-,对称轴t=.(1)若-1≤≤1,则当t=时,ymin=-=-6,所以a2=24(舍去);8
(2)若<-1,即a<-2时二次函数在[-1,1]上单调递增,ymin=-=1+a=-6,所以a=-7;(3)若>1,即a>2时,二次函数在[-1,1]上单调递减.ymin=1-a=-6,所以a=7.综上所述,a=-7或a=7.8
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