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两角差的余弦公式 (15分钟 30分)1.下列式子中,正确的个数为( )①cos(α-β)=cosα-cosβ;②cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ;③sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=cos45°.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由两角差的余弦公式可知:①②均不正确,③正确.2.已知sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,则cos(α-β)=( )A.- B.- C. D.【解析】选D.因为sinα-sinβ=1-,所以sin2α-2sinαsinβ+sin2β=,①因为cosα-cosβ=,所以cos2α-2cosαcosβ+cos2β=,②由①②两式相加得1-2cos(α-β)+1=1-++,所以-2cos(α-β)=-,所以cos(α-β)=.3.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cosA,sinA),b=(cosB,sinB),且a·b=1,则△ABC一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5
【解析】选B.因为a·b=cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.4.若x∈,且sinx=,则2cos+2cosx= . 【解析】因为x∈[,π],sinx=,所以cosx=-.所以2cos+2cosx=2+2cosx=2+2cosx=sinx+cosx=-=.答案:5.(2020·葫芦岛高一检测)已知α,β∈,且sinα=,cos(α+β)=-,求cosβ的值.【解析】因为α,β∈,所以0<α+β<π,由cos(α+β)=-,得sin(α+β)=,又sinα=,所以cosα=,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=. (20分钟 40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·海淀高一检测)已知cos=,0<θ<,则cosθ等于( )A.B.C.D.5
【解析】选C.因为θ∈,所以θ+∈.所以sin=.所以cosθ=cos=.2.已知锐角α,β满足cosα=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( )A.B.-C.D.-【解析】选A.因为α,β为锐角,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα=,sin(α+β)=,所以cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.3.若sinα=,α∈,则cos的值为( )A.-B.-C.-D.-【解析】选B.因为sinα=,α∈,所以cosα=-=-=-,所以cos=coscosα+sinsinα,=×+×=-.4.(2020·青岛高一检测)若cos(α-β)=,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=( )A.B.-C.D.-【解析】选A.原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=2+2×=.二、填空题(每小题5分,共10分)5
5.若a=(cosα,sinβ),b=(cosβ,sinα),0<β<α<,且a·b=,则α-β= . 【解析】a·b=cosαcosβ+sinβsinα=cos(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,所以α-β=.答案:6.(2020·南阳高一检测)已知cos+sinα=,则cos的值是 . 【解析】cos+sinα=cosα+sinα=,cosα+sinα=,所以cos=cosα+sinα=.答案:三、解答题7.(10分)已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈.(1)求sinθ和cosθ的值.(2)若5cos(θ-φ)=3cosφ,0<φ<,求角φ的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ.又因为sin2θ+cos2θ=1,所以4cos2θ+cos2θ=1,则cos2θ=,sin2θ=.又因为θ∈,所以sinθ=,cosθ=.(2)因为5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ)=cosφ+2sinφ=3cosφ,5
所以cosφ=sinφ,tanφ=1.又0<φ<,故φ=.5
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