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平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 (20分钟 35分)1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)【解析】选A.因为=(-3,-1),所以=+=(-7,-4).2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=( )A.(1,-2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【解析】选A.b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).3.已知=(5,-3),C(-1,3),=2,则点D坐标是( )A.(11,9)B.(4,0)C.(9,3)D.(9,-3)【解析】选D.设D(x,y),则=(x+1,y-3),由=2,得解得即D(9,-3).4.已知在▱ABCD中,点A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),则点D的坐标为( )A.(-2,5)B.(-3,5)C.(5,-5)D.(-3,-5)【解析】选D.设点D的坐标为(x,y),因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.又因为=(4,0),=(1-x,-5-y),所以1-x=4且-5-y=0,所以x=-3,y=-5.故点D的坐标为(-3,-5).5.平面上三点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC中点,则向量的坐标为 . 【解析】设O为坐标原点,依题意知=(+)=(2,1)=,则=-=(2,-5)-=.答案:6
6.(2020·平顶山高一检测)已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),求m-n的值.【解析】由题意得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n)=(9,-8),即解得所以m-n=-3. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知A(3,2),B(5,4),C(6,7),则以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为( )A.(4,5) B.(4,5)或(8,9)C.(4,5)或(2,-1)D.(4,5)或(8,9)或(2,-1)【解题指南】“求以A,B,C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点的坐标”与“求以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标”是有区别的.前者的D点位置确定了,四点A,B,C,D是按同一方向(顺时针或逆时针)排列的,后者的D点位置没有确定,应分三种情况进行讨论.【解析】选D.设D点的坐标为D(x,y).若是平行四边形ABCD,则有=,可得(5-3,4-2)=(6-x,7-y),解得x=4,y=5.故所求顶点D的坐标为D(4,5).若是平行四边形ABDC,则有=,可得(5-3,4-2)=(x-6,y-7),解得x=8,y=9.故所求顶点D的坐标为D(8,9).若是平行四边形ACBD,则有=,可得(6-3,7-2)=(5-x,4-y),解得x=2,y=-1.故所求顶点D的坐标为D(2,-1).综上可得,以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4,5)或(8,9)或(2,-1).2.(2020·沈阳高一检测)已知向量a=(m,1),b=(m2,2).若存在λ∈R,使得a+λb=0,则m=( )6
A.0 B.2 C.0或2 D.0或-2【解析】选C.因为a=(m,1),b=(m2,2),a+λb=0,所以(m+λm2,1+2λ)=(0,0),即所以3.已知点A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若=+m,且点P在y轴上,则m=( )A.-2B.C.-D.2【解析】选B.设P(x,y),由题意=m,所以所以P(-5m+1,m+2),又点P在y轴上,所以-5m+1=0,m=.4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)【解析】选D.因为四条有向线段首尾相接构成四边形,则对应向量之和为零向量,即4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,所以d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-2,-6).5.在四边形ABCD中,==(1,0),+=,则四边形ABCD的面积是( )A.B.C.D.【解析】选D.为在方向上的单位向量,记为e1=,类似地,设=e2=,=e3=,所以e1+e2=e3,可知四边形BNGM为菱形,且||=||=||,所以∠MBN=120°,从而四边形ABCD也为菱形,||=||=1,所以=||·||·sin∠ABC=.6
二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·鞍山高一检测)若A(3,5),B(4,2),C(0,3),则-2= . 【解析】因为A(3,5),B(4,2),C(0,3),所以=(1,-3),BC=(-4,1).所以-2=(1,-3)-2(-4,1)=(1,-3)-(-8,2)=(9,-5).答案:(9,-5)7.已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N= . 【解析】由题意得(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),即(1+3λ,2+4λ)=(-2+4μ,-2+5μ),所以解得λ=-1,μ=0,所以M∩N={(-2,-2)}.答案:{(-2,-2)}8.(2020·商洛高一检测)已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),O为原点,若a=,则x+2y的值为 . 【解析】因为a=(x+3,x-3y-5)=(2,0),所以所以所以x+2y=-1+2×(-2)=-5.答案:-5三、解答题(每小题10分,共20分)9.以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),所以||=||=||=4.6
因为在0～2π范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:==(2,2).所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:=(0,-4),所以=-=(0,-4)-(2,-2)=(-2,-2).综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).10.如图所示,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于点F,求的坐标.【解析】因为A(7,8),B(3,5),C(4,3),所以=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5),又因为D是BC的中点,所以=(+)=(-4-3,-3-5)=(-7,-8)=.因为M,N分别为AB,AC的中点,所以F为AD的中点,所以=-=-=-=.1.已知向量p=a+tb,q=c+sd(s,t是任意实数),其中a=(1,2),b=(3,0),c=(1,-1),d=(3,2),则向量p、q交点的坐标是 . 【解析】设交点坐标为(m,n),则p=(m,n),q=(m,n),6
所以p=a+tb=c+sd=q.所以(1,2)+t(3,0)=(1,-1)+s(3,2).即(3t+1,2)=(3s+1,2s-1).所以所以所以(m,n)=(1,2)+t(3,0)=(3t+1,2)=.即向量p、q的交点坐标为.答案:2.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若++=0,求的坐标.(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),因为++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).所以解得所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1),因为=m+n,所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得m-n=y0-x0,又因为点P在函数y=x+1的图象上,所以y0-x0=1,所以m-n=1.6
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