资料简介
概率的基本性质 (20分钟 35分)1.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )A.A⊆BB.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3【解析】选C.设A={1，2}，B={2，3}，A∩B={2}，A∪B={1，2，3}，所以A+B表示向上的点数为1或2或3.2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一炮弹击中飞机}，D={至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A.A⊆DB.B∩D=C.A∪C=DD.A∪B=B∪D【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，所以A∪B≠B∪D.3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中，为互斥事件的是( )A.①B.②④C.③D.①③【解析】选C.由互斥事件的定义可知③是互斥事件，只有③的两个事件不会同时发生.6
4.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45【解析】选D.组距为5，二等品的概率为1-(0.02+0.06+0.03)×5=0.45.所以，从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率为0.45.5.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为______. 【解析】“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件.故3人中都是男生的概率P=1-=.答案：6.据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如表：排队人数0人1人2人3人4人5人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)求至多2人排队等候的概率；(2)求至少2人排队等候的概率.【解析】记在窗口等候的人数为0，1，2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥.(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)事件“至少2人排队等候的对立事件”是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26，故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)6
1.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A.A与BB.B与CC.A与DD.C与D【解析】选C.A与B互斥且对立；B与C有可能同时发生，即出现6，从而不互斥；A与D不会同时发生，从而A与D互斥，又因为还可能出现2，故A与D不对立；C与D有可能同时发生，从而不互斥.2.某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为( )A.B.C.D.【解析】选B.设“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=+++=.3.下列几种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件.其中错误的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选D.对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A，B为互斥事件时才有P(A+B)=P(A)+P(B)，故②错；因为A，B，C并不一定是随机试验中的全部基本事件，故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1，故③错；若A，B不互斥，尽管P(A)+P(B)=1，但A，B不是对立事件，故④错.4.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为( )A.一个是5点，另一个是6点B.一个是5点，另一个是4点6
C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点【解析】选C.同时掷两枚均匀的骰子，“都不是5点且不是6点”的对立事件是“至少有一个是5点或6点”.5.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.B.C.D.1【解析】选C.易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为+=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.设事件A的对立事件为B，已知事件B的概率是事件A的概率的2倍，则事件A的概率是______. 【解析】由条件可知P(B)=2P(A)，又P(A)+P(B)=1，所以P(A)+2P(A)=1，则P(A)=.答案：7.甲射击一次，中靶概率是p1，乙射击一次，中靶概率是p2，已知，是方程x2-5x+6=0的根，且p1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次，不中靶概率为______；乙射击一次，不中靶概率为______. 【解析】由p1满足方程x2-x+=0知，-p1+=0，解得p1=；因为，是方程x2-5x+6=0的根，所以·=6，解得p2=，因此甲射击一次，不中靶概率为1-=，乙射击一次，不中靶概率为1-=.答案： 8.从几个数中任取实数x，若x∈(-∞，-1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(-1，0)的概率是______. 6
【解析】设“x∈(-∞，-1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(-1，0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B=A∪C，所以P(B)=P(A)+P(C)，所以P(C)=P(B)-P(A)=0.5-0.3=0.2.答案：0.2三、解答题(每小题10分，共20分)9.在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1={出现1点}，事件C2={出现2点}，事件C3={出现3点}，事件C4={出现4点}，事件C5={出现5点}，事件C6={出现6点}，事件D1={出现的点数不大于1}，事件D2={出现的点数大于3}，事件D3={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断D2、D3、E、F分别是哪些事件的和事件.【解析】(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1=D1.(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得，D3=C1+C2+C3+C4，E=C1+C2+C3+C4+C5+C6，F=C2+C4+C6，G=C1+C3+C5.10.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.6
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(用频率估计概率)【解析】(1)由已知得所以顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计为=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，将频率视为概率，由互斥事件概率的加法公式得P(A)=++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P(A)=，P(B∪C)=P(B)+P(C)=，P(C∪D)=P(C)+P(D)=，P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.解得P(B)=，P(C)=，P(D)=，即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.6
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