资料简介
用样本的数字特征估计总体的数字特征 (20分钟 35分)1.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A.85,85,85B.87,85,86C.87,85,85D.87,85,90【解析】选C.从小到大列出所有数学成绩:75,80,85,85,85,85,90,90,95,100,观察知众数和中位数均为85,计算得平均数为87.2.(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18C.20D.36【解题指南】根据直方图确定直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可.【解析】选B.根据直方图,直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率为:(6.25+5.00)×0.02=0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为:80×0.225=18.3.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是=2,方差是,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数和方差分别为( )A.2,B.2,1C.4,D.4,3【解析】选D.平均数为′=3-2=3×2-2=4,方差为s′2=9s2=9×=3.4.如图是七位评委为某跳水运动员打出的分数的茎叶图,则这组分数的中位数和众数分别是8
______. 【解析】把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为:79,84,84,84,86,87,93,可知众数是84,中位数是84.答案:84,845.已知方差s2=(++…+)-2,由这个公式计算:若10个数的平均数是3,标准差是2,则方差是______,这10个数据的平方和是______. 【解析】由方差的算术平方根是标准差知,s2=22=4,故4=(++…+)-9,所以++…+=130.答案:4 1306.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.【解析】在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70;这组数据的平均数是=(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=≈1.69(m).故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69m. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )8
A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差【解析】选C.由图知=6,=6,=2,=2.4.2.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为( )A.0.01B.0.1C.1D.10【解析】选C.因为数据axi+b(i=1,2,…,n)的方差是数据xi(i=1,2,…,n)的方差的a2倍,所以所求数据方差为102×0.01=1.3.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为sA和sB,则( )A.>,sA>sBB.<,sA>sBC.>,sA<sBD.<,sA<sB【解析】选B.由图易得<,又A波动性大,B波动性小,所以sA>sB.8
4.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为m0,平均值为,则( )A.me=m0=B.me=m0<C.me<m0<D.m0<me<【解析】选D.由题目所给的统计图可知,30个数据按大小顺序排列好后,中间两个数为5,6,故中位数为me==5.5.又众数为m0=5,平均值=(3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2)=.所以m0<me<.5.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的分数登错了,甲实得80分,却记了50分,乙得70分却记了100分,更正后平均分和方差分别是( )A.70,75B.70,50C.75,1.04D.65,2.35【解析】选B.因甲少记了30分,乙多记了30分,故平均分不变,设更正后的方差为s2,则由题意可得:s2=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(80-70)2+(70-70)2+…+(x48-70)2],而更正前有:75=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(50-70)2+(100-70)2+…+(x48-70)2],化简整理得s2=50.二、填空题(每小题5分,共15分)6.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,则8
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是______. (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为______. (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______. 【解析】(1)(0.040×10+0.025×10)×20=13.(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5.(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.答案:(1)13 (2)62.5 (3)647.世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数22504502908则所得样本的中位数是______(精确到百元). 【解析】设样本的中位数为x,则++·=0.5,解得x≈51,所得样本中位数为51(百元).答案:518.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy=______. 【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20,又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,8
得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.答案:96三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知一组数据:125 121 123 125 127 129 125 128 130 129126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1)填写下面的频率分布表:分组频数累计频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计(2)作出频率分布直方图.(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.【解析】(1)分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5)正80.4[126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]30.15合计201(2)8
(3)在[124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数为125.5,事实上,众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5+2×=125.75,事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数:x=121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15=125.8,事实上平均数的精确值为x=125.75.10.若甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示:(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差.(2)比较两名同学的成绩,谈谈你的看法.【解析】(1)=(65+70+80+86+89+95+91+94+107+113)=89.=[(65-89)2+(70-89)2+(80-89)2+(86-89)2+(89-89)2+(95-89)2+(91-89)2+(94-89)2+(107-89)2+(113-89)2]=199.2,所以s甲≈14.1.=(79+86+83+88+93+99+98+98+102+114)=94.=[(79-94)2+(86-94)2+(83-94)2+(88-94)2+(93-94)2+(99-94)2+(98-94)2+(98-94)2+(102-94)2+(114-94)2]=96.8.所以s乙≈9.8.(2)由(1)知<且s甲>s乙.8
所以乙同学的平均成绩较高且标准差较小,说明乙同学的数学成绩好,且很稳定,故甲同学的数学学习状况不如乙同学的数学学习状况.1.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2【解析】选B.选项A:E(X)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5.所以D(X)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65.同理选项B:E(X)=2.5,D(X)=1.85;选项C:E(X)=2.5,D(X)=1.05;选项D:E(X)=2.5,D(X)=1.45.2.某校甲班、乙班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如表:班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析:甲班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”(2)请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学建议.【解析】(1)由中位数可知,85分排在第25名之后,从名次上讲,85分不算是上游,但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏,小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握较好.(2)甲班学生成绩的中位数为87分,说明高于或等于87分的学生占一半以上,而平均分为79分,标准差很大,说明低分也多,两极分化严重,建议对学习有困难的同学多给一些帮助;乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分,标准差小,说明学生成绩之间差别较小,成绩很差的学生少,但成绩优异的学生也很少,建议采取措施提高优秀率.8
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