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教学基本信息课题二次根式的概念及性质(第一课时)学科数学学段:第三学段年级初二教材书名:义务教育教科书数学八年级下册出版社:人民教育出版社出版日期:2013年12月教学目标及教学重点、难点本节课主要学习二次根式的概念及性质.在生成概念的过程中体会类比方法的运用和作用.共设计四道例题,涉及二次根式概念辨析,确定二次根式有意义的条件,二次根式的双重非负性的应用等.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入概念(一)从代数运算看“式”的概念产生,体会知识之间的联系.单项式是由数与字母的乘法运算来定义的.而多项式是几个单项式的和.分式是由整式的除法运算来定义的.数或字母做开方运算得到的式子是什么呢?(二)在实际问题中体会应用1.电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km)之间存在近似关系,其中R是地球半径,R≈6400km.2.汽车刹车时的速度v与汽车刹车后滑行的距离S之间存在关系其中,g是常数9.8,μ是摩擦系数.在解决交通肇事问题时,可以通过测量刹车后车轮滑过的距离,来计算车辆行驶的速度.3.爱因斯坦的相对论,是家喻户晓的关于时空和引力的理论.根据爱因斯坦的相对论,地球上的1秒钟,宇宙飞船内只经过秒,其中v是宇宙飞船的速度,c指光速.建立知识之间的联系,通过“温故”促进“知新”.类比已学过的式的相关概念下定义的方法,尝试给二次根式下定义.体会无论是数学内部发展的需要,还是生产生活,科学研究中的实际需求,对于二次根式的学习都是非常必要的.2
4.推导一元二次方程求根公式,利用勾股定理表示直角三角形的边长…抽象概念1.在例子中出现的,都是二次根式.你能说出二次根式具体对应的是哪种代数运算吗?2.类比分式的定义给出二次根式的定义.3.由二次根式的定义中,为什么要求“a≥0”,引出二次根式的双重非负性.4.在对式的运算的梳理的基础上,给出代数式定义.在学习新知的过程中,体现知识生长的脉络.在与旧知建立联系的基础上,逐渐拓展.有利于对知识形成“整体”的认识和感知.2
典型例题例1根据二次根式定义进行判断(1)下列式子一定是二次根式的是( )(A)(B)(C)(D)(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?总结:求使代数式有意义的字母取值范围的条件:(1)二次根式型:被开方数大于或等于0;(2)分式型:分母不等于0;(3)零指数幂型:底数不等于0;(4)复合型:由分式、根式、零指数幂组成的复合型代数式.例2二次根式双重非负性的应用(1)当x取何值时,的值最小,最小值是多少?(2)若,则a+b-c=.总结:1.二次根式的最小值是0.巩固对二次根式定义的理解.根据二次根式中的被开放数是非负数来确定字母的取值范围.一颗星题目最为基础;二颗星题目被开方数的形式比一颗星题目更为复杂;三颗星、四颗星题目更为综合.题目难度的设置上层层递进,激发学生参与的热情.题目的选择上既体现巩固新知,又起到温习旧知的作用.联系旧知,进一步理解二次根式的非负性.3
2.梳理常见的具有非负性的式子.例3二次根式双重非负性作为隐含条件的应用(1)若是正整数,则n的最大整数值是.(2)已知a满足,则.例4二次根式双重非负性作为隐含条件的应用已知:a、b为等腰三角形的两边长,且满足等式.求这个等腰三角形的周长.体会二次根式的双重非负性作为隐含条件,在解决问题的过程中所发挥的作用.在解决综合问题的过程中,体现对思考问题全面性的培养.提升练习1.下列式子中是二次根式的有( )①;②;③(m>2);④;⑤;2.在下列式子:①;②(x-3)0;③中,x不可以取3的是( )A.只有①B.只有②C.①和②D.①和③巩固本节课核心内容的理解和掌握.归纳小结1.二次根式的定义.2.二次根式的双重非负性.梳理本节课所学内容,提炼本节课知识核心.3
布置作业1.当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1); (2);(3);(4).2.当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1); (2); (3);(4).3.(1)已知是整数,求自然数n所有可能的值;(2)已知是整数,求正整数n的最小值.巩固对二次根式定义及二次根式的双重非负性的掌握.3
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