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专题强化练2 指数函数与对数函数的综合应用一、选择题1.(★★☆)已知集合A={x|y=lg(2-x)+lgx},B={y|y=2x,x>0},R是实数集,则(∁RB)∩A等于( )A.[0,1]B.(0,1]C.(-∞,0]D.⌀2.(★★☆)设函数f(x)=log2(x-1),x≥2,12x-1,x<2,若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(0,2)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-1,3)3.(2020山东青岛胶州一中高三一模,★★★)已知13a=log3a,3b=log13b,13c=log13c,则a,b,c的大小关系是( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c4.(2020广东佛山第四中学检测,★★★)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0,满足f(-x0)=-f(x0),则称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( )A.1-3≤m≤1+3B.1-3≤m≤22C.-22≤m≤22D.-22≤m≤1-35.(多选)(2020山东泰安高一上期末,★★★)若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:(i)对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;(ii)f(1)=1;(iii)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).就称f(x)为“A函数”,则下列定义在[0,1]上的函数中,是“A函数”的有( )A.f(x)=log12(x+1)B.f(x)=log2(x+1)C.f(x)=xD.f(x)=2x-16
二、填空题6.(2020上海松江高三上期末,★★☆)已知函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),若函数y=f(x)+2x的图像经过点(1,6),则函数y=f-1(x)+log2x的图像必经过点 . 7.(★★☆)若函数f(x)的图像与函数g(x)=12x的图像关于直线y=x对称,则f(2x-x2)的单调减区间为 . 8.(★★☆)已知0<a<1,0<b<1,若alogb(x-3)<1,则x的取值范围是 . 三、解答题9.(2020安徽屯溪一中高一上期中,★★★)已知函数f(x)=13x,函数g(x)=log3x.(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a);(3)是否存在实数m,n,使得函数y=2x+log3f(x2)的定义域为[m,n],值域为[4m,4n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.10.(★★★)已知函数f(x)=log2x,函数g(x)=3-2log2x.(1)若函数F(x)=[g(x)]2-λf(x),x∈18,+∞的最小值为-16,求实数λ的值;(2)当x∈18,2时,不等式23-g(x)-2f(x2)≤lnT的解集为⌀,求实数T的取值范围.6
答案全解全析一、选择题1.B 由2-x>0,x>0,得0<x<2,故集合A={x|0<x<2},由x>0得2x>1,故集合B={y|y>1},故∁RB={y|y≤1},则(∁RB)∩A={x|0<x≤1},故选B.2.C 当x0≥2时,∵f(x0)>1,∴log2(x0-1)>1,解得x0>3;当x0<2时,由f(x0)>1得12x0-1>1,解得x0<-1.综上,x0的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).3.C 在同一直角坐标系内作出函数y=13x,y=log3x,y=3x,y=log13x的图像,如图所示.因为13a=log3a,3b=log13b,13c=log13c,所以a是y=13x与y=log3x图像交点的横坐标,b是y=3x与y=log13x图像交点的横坐标,c是y=13x与y=log13x图像交点的横坐标,由图可得b<c<a.故选C.4.B 根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解,即4-x-m·2-x+1+m2-3=-(4x-m·2x+1+m2-3)有解,即4x+4-x-2m·(2x+2-x)+2m2-6=0有解,即(2x+2-x)2-2m·(2x+2-x)+2m2-8=0有解,设t=2x+2-x,则t≥2,∴t2-2m·t+2m2-8=0在t≥2时有解.设g(t)=t2-2m·t+2m2-8,其图像的对称轴为直线x=--2m2=m.①若m≥2,则Δ=4m2-4(2m2-8)≥0,即m2≤8,∴-22≤m≤22,此时2≤m≤22.②若m<2,则f(2)≤0,解得1-3≤m≤1+3,∴1-3≤m<2,6
综上,1-3≤m≤22.5.CD 选项A中,f(1)=log12(1+1)=-1,不满足(ii),故f(x)=log12(x+1)不是“A函数”.选项B中,若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1)+f(x2)=log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1x2+x1+x2+1)≥log2(x1+x2+1)=f(x1+x2),不满足(iii),故f(x)=log2(x+1)不是“A函数”.选项C中,f(x)显然满足(i)(ii),对任意x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,f(x1+x2)=x1+x2=f(x1)+f(x2),∴f(x)=x是“A函数”.选项D中,f(x)显然满足(i)(ii),对任意x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,f(x1+x2)=2x1+x2-1,f(x1)+f(x2)=2x1+2x2-2,∴f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)·(2x2-1).又x1,x2∈[0,1],∴2x1-1≥0,2x2-1≥0,∴f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]≥0,即f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),因此,f(x)=2x-1是“A函数”.故选CD.二、填空题6.答案 (4,3)解析 ∵函数y=f(x)+2x的图像经过点(1,6),∴6=f(1)+2,∴f(1)=4,即函数y=f(x)的图像经过点(1,4),又y=f(x)存在反函数y=f-1(x),∴y=f-1(x)的图像经过点(4,1),即f-1(4)=1,∴f-1(4)+log24=1+2=3,∴函数y=f-1(x)+log2x的图像必经过点(4,3).7.答案 (0,1]解析 由函数f(x)的图像与函数g(x)=12x的图像关于直线y=x对称,得函数f(x)是函数g(x)=12x的反函数,即f(x)=log12x,∴f(2x-x2)=log12(2x-x2),令h(x)=2x-x2>0,解得0<x<2,又f(x)=log12x是减函数,h(x)在(0,1]上单调递增,在[1,2)上单调递减,由复合函数的单调性知,f(2x-x2)的单调减区间为(0,1].8.答案 {x|3<x<4}解析 因为0<a<1,alogb(x-3)<1,所以logb(x-3)>0,又0<b<1,所以0<x-3<1,即3<x<4.三、解答题6
9.解析 (1)由题意知mx2+2x+m>0对任意实数x恒成立,∵m=0时显然不满足,∴m>0,Δ=22-4m2<0,解得m>1.∴实数m的取值范围为(1,+∞).(2)当x∈[-1,1]时,f(x)∈13,3.令f(x)=tt∈13,3,则y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,∴h(a)=28-6a9,a<13,3-a2,13≤a≤3,12-6a,a>3.(3)存在.∵y=2x+log3f(x2)=2x+log313x2=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴4n≤1,∴n≤14,∴该函数在[m,n]上单调递增,∴2m-m2=4m,2n-n2=4n.又∵m<n,∴m=-2,n=0.10.解析 (1)令t=log2x,因为x∈18,+∞,所以t≥-3.设y=F(x),则y=[g(x)]2-λf(x),化简得y=4t2-(λ+12)t+9,t≥-3,当t=λ+128≥-3,即λ≥-36时,有4×4×9-(λ+12)216=-16,解得λ=-32或λ=8;当t=λ+128<-3,即λ<-36时,有36+3(λ+12)+9=-16,解得λ=-973(舍去).所以实数λ的值为-32或8.(2)不等式23-g(x)-2f(x2)≤lnT可化为2log2x-2log2x2≤lnT,即-x2+x≤lnT.因为当x∈18,2时,不等式23-g(x)-2f(x2)≤lnT的解集为⌀,6
所以当x∈18,2时,不等式-x2+x≤lnT的解集为⌀,令h(x)=-x2+x,x∈18,2,则函数h(x)在区间18,12上单调递增,在区间12,2上单调递减,h(x)min=h(2)=-4+2=-2,所以lnT<-2,从而0<T<1e2,即所求实数T的取值范围为0,1e2.6
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