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指数函数与对数函数的关系基础过关练题组一 求反函数1.已知函数y=log3(3-x)(0≤x<3),则它的反函数是( )A.y=3-3x(x≥0)B.y=3+3x(x≤1)C.y=3+3x(x≥0)D.y=3-3x(x≤1)2.(2020陕西渭南潼关高一期末)函数y=f(x)是y=ax(a>0且a≠1)的反函数,则下列结论错误的是( )A.f(x2)=2f(x)(x>0)B.f(2x)=f(x)+f(2)C.f12x=f(x)-f(2)D.f(2x)=2f(x)3.函数y=x+1,x<0,ex,x≥0的反函数是 . 4.求下列函数的反函数.(1)f(x)=13x;(2)f(x)=5x+1;(3)f(x)=x2(x≤0).5.已知f(x)=a·2x-12x+1(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)若k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log21+xk.5
题组二 互为反函数的关系6.已知函数f(x)=ax+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+57.(2020北京西城高一上阶段测试)若函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是( )A.ab=1B.a+b=1C.a=bD.a-b=18.设f(x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是( )A.(0,+∞)B.(9,+∞)C.(10,+∞)D.(-∞,+∞)9.(2020广西南宁高一期中)设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)的值是 . 10.设函数f(x)=log2x+3,x∈[1,+∞),则f-1(x)的定义域是 . 11.设函数g(x)的图像与f(x)=2x+14x+3x∈R,且x≠-34的图像关于直线y=x对称,求g(2)的值.题组三 指数函数与对数函数图像之间的关系5
12.(2020山东济南历城第二中学高一期末)当a>1时,函数y=a-x的图像与y=logax的图像大致是( )13.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称.而函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是( )A.-eB.-1eC.eD.1e14.(2020安徽师范大学附属中学高一期中)若f(x)=-log2x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向左平移1个单位得到,则h(x)= . 答案全解全析基础过关练1.D 由y=log3(3-x),得3-x=3y,∴x=3-3y,∴y=log3(3-x)的反函数为y=3-3x,∵原函数中0≤x<3,∴0<3-x≤3,∴y=log3(3-x)≤1,∴反函数的定义域为(-∞,1],故选D.2.D ∵函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,∴f(x)=logax(a>0,且a≠1),则当x>0时,f(x2)=logax2=2logax=2f(x),故A结论正确;f(2x)=loga(2x)=logax+loga2=f(x)+f(2)≠2f(x),故B结论正确,D结论错误;f12x=loga12x=logax-loga2=f(x)-f(2),故C结论正确.故选D.3.答案 y=x-1,x<1lnx,x≥1解析 当x<0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x<1;5
当x≥0时,y=ex的反函数是y=lnx,x≥1.故原函数的反函数为y=x-1,x<1,lnx,x≥1.4.解析 (1)令y=13x,得x=log13y,且y>0,∴f-1(x)=log13x(x>0).(2)令y=5x+1,得x=y-15,∴f-1(x)=x-15(x∈R).(3)令y=x2,得x=±y.∵x≤0,∴x=-y.∴f-1(x)=-x(x≥0).5.解析 (1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=2x-12x+1.因为f(x)+f(-x)=2x-12x+1+2-x-12-x+1=2x-12x+1+1-2x1+2x=0,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数.(2)令y=2x-12x+1=1-22x+1,则2x=1+y1-y(-1<y<1),所以f-1(x)=log21+x1-x(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log21+xk,即log21+x1-x>log21+xk,所以1+x1-x>1+xk,-1<x<1,所以x>1-k,-1<x<1,所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.6.A ∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=ax+b的图像过点(1,7),∴a0+b=4,a1+b=7,∴a=4,b=3,故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,故选A.7.A 由函数y=1ax与y=logbx互为反函数得1a=b,整理得ab=1.故选A.8.B ∵f(x)=3x+9>9,5
∴f-1(x)的定义域为(9,+∞),故选B.9.答案 2解析 ∵f(27)=3,∴loga27=3,解得a=3,∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)=3log92=3log32=2.10.答案 [3,+∞)解析 ∵x≥1,∴log2x≥0,∴log2x+3≥3,∴f-1(x)的定义域为[3,+∞).11.解析 ∵g(x)的图像与f(x)=2x+14x+3的图像关于直线y=x对称,∴g(x)与f(x)互为反函数,由2x+14x+3=2,解得x=-56,∴g(2)=-56.12.A 因为a>1,所以y=a-x=1ax在R上单调递减,且过点(0,1),y=logax在(0,+∞)上单调递增,且过点(1,0),由此可知A选项正确.故选A.13.B ∵函数y=g(x)的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=lnx,又y=f(x)的图像与y=g(x)的图像关于y轴对称,∴f(x)=ln(-x),又∵f(m)=-1,∴ln(-m)=-1,解得m=-1e,故选B.14.答案 12x+1解析 ∵f(x)=-log2x=log12x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,∴g(x)=12x.∵h(x)的图像由g(x)的图像向左平移1个单位得到,∴h(x)=12x+1.5
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