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第1课时 函数的零点基础过关练题组一 函数的零点1.下列图像表示的函数中没有零点的是( )2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表,则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )x123456f(x)1510-76-4-5 A.2个B.3个C.4个D.5个3.已知x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是( )A.-1,1B.0,-1C.1,0D.2,14.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为( )A.1,2B.-1,-2C.1,12D.-1,-125.函数f(x)=x2-2,x≤0,2x-6-1x,x>0的零点个数是 . 6.求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2+2x+3;(2)f(x)=2x-4,x≥0,2x2+5x+2,x<0.14
题组二 函数零点的存在性及其应用7.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表,则函数f(x)一定存在零点的区间是( )x123f(x)6.12.9-3.5A.(-∞,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)8.(2021陕西宝鸡渭滨高一上期中)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)·f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0B.若f(a)·f(b)<0,则有且只有一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0C.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0D.若f(a)·f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=09.函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有10.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= . 11.利用函数解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5≤0;(3)-12x2+3x-5>0.12.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4].14
(1)画出函数y=f(x)的图像,并写出其值域.(2)若函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点,求实数m的取值范围.13.已知二次函数f(x)满足f(0)=3,f(x+1)=f(x)+2x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=f(|x|)+m(m∈R),若函数g(x)有4个零点,求实数m的取值范围.14
题组三 函数零点的分布14.若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是( )A.a>15B.a>15或a<-1C.-1<a<15D.a<-115.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能是( )A.a<α<b<βB.α<a<β<bC.α<a<b<βD.a<α<β<b16.已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上只有一个零点,求实数a的取值范围.14
17.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求m的取值范围.能力提升练一、单项选择题1.()设函数f(x)=2x-1,x∈[0,+∞),x2-4,x∈(-∞,0),若g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是( ) A.1B.±5C.1,-5D.1,52.(2020浙江高中发展共同体高三模拟,)已知a∈R,则“a≤2”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负根”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件14
D.既不充分也不必要条件3.()若偶函数f(x)在区间[0,a]上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是( )A.3B.2C.1D.04.()已知函数f(x)=-x2-2x+a,x<0,f(x-1),x≥0,且函数y=f(x)-x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.[-1,0)C.[-1,+∞)D.[-2,+∞)二、多项选择题5.()设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出如下命题,其中正确的是( )A.c=0时,y=f(x)是奇函数B.b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根C.y=f(x)的图像关于点(0,c)对称D.方程f(x)=0最多有两个实数根6.()函数f(x)=(x-2)(x-5)-1有两个零点x1,x2,且x1<x2,下列关于x1,x2的关系中错误的有( )A.x1<2且2<x2<5B.x1<2且x2>5C.2<x1<5且x2>5D.x1+x2=7三、填空题7.()已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为 . 8.()已知函数f(x)=|x|,x≤4,x2-8x+16,x>4,若关于x的方程f(x)=a恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 . 四、解答题9.(2021山西长治第二中学高一月考,)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.14
10.()已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:①对于任意x∈[0,1],f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值;(2)函数g(x)=f(x)-2x-110在12,1上有没有零点?并说明理由.14
答案全解全析第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时 函数的零点基础过关练1.A2.B3.C4.C7.C8.C9.C14.B15.C1.A 选项B,C,D中的图像均与x轴有交点,故函数均有零点;选项A中的图像与x轴没有交点,故函数没有零点.故选A.2.B 由题表可知f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.又f(x)的图像是连续不断的,所以f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有一个零点,因此函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.3.C 因为x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,所以-a+b=0,所以a=b,所以g(x)=ax2-ax=ax(x-1)(a≠0),令g(x)=0,得x=0或x=1.故选C.4.C 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则1+2=-ba,1×2=ca,所以ba=-3,ca=2,于是f(x)=cx2+bx+a=acax2+bax+1=a(2x2-3x+1)=a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点是1,12.故选C.5.答案 2解析 当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-2(正值舍去),所以f(x)在(-∞,0]上有一个零点.当x>0时,由2x-6-1x=0,得2x2-6x-1x=0,即2x2-6x-1=0.因为Δ=(-6)2+8=44>0,x1x2=-12<0,所以方程2x2-6x-1=0有一个正根和一个负根,14
所以y=2x-6-1x(x>0)有一个零点.综上所述,函数f(x)的零点个数为2.6.解析 (1)令-x2+2x+3=0,得x=-1或x=3,因此函数的零点为-1,3.(2)当x≥0时,由2x-4=0得x=2;当x<0时,由2x2+5x+2=0得x=-2或x=-12.所以函数的零点为-2,-12,2.7.C 由题表可知f(2)·f(3)<0,根据函数零点存在定理可知函数f(x)在区间(2,3)上一定存在零点.故选C.8.C 根据函数零点存在定理知若f(a)·f(b)<0,则一定存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,但c的个数不确定,故B,D错误.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)f(2)=9>0,但f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,故A错误,C正确.故选C.9.C 若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)>0,f(2)<0,得f(1)·f(2)<0,则f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c是二次函数,由f(1)>0,f(2)<0,得f(1)·f(2)<0,则f(x)在(1,2)上必有零点.若f(x)在(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾,故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.综上所述,f(x)在(1,2)上的零点有且仅有一个.10.答案 0解析 由奇函数图像的对称性知,若f(x)=0,则f(-x)=0,即零点对应的坐标关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.11.解析 (1)设f(x)=2x2+7x+3,令f(x)=0,得2x2+7x+3=0,解得x=-3或x=-12,即函数f(x)有两个零点-3,-12,又因为函数图像开口向上,所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪-12,+∞.(2)设g(x)=x2-4x-5,令g(x)=0,得x2-4x-5=0,解得x=-1或x=5,即函数g(x)=x2-4x-5有两个零点-1,5.又因为函数图像开口向上,所以原不等式的解集为[-1,5].(3)原不等式可化为x2-6x+10<0.令h(x)=x2-6x+10,因为Δ=(-6)2-4×10=-4<0,所以h(x)=x2-6x+10=0无零点,又因为h(x)的图像开口向上,14
所以原不等式的解集为⌀.12.解析 (1)依题意得f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其图像如图所示.由图像可知,函数f(x)的值域为[-4,5].(2)∵函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点,∴方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有两个相异的实数根,即函数f(x)的图像与直线y=-m在[-1,4]上有两个交点.由(1)中图像可得-4<-m≤0,∴0≤m<4,∴当0≤m<4时,函数y=f(x)的图像与直线y=-m有两个交点,即当函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点时,0≤m<4.13.解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=ax2+bx+3,∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a+b+3,f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3,∵f(x+1)=f(x)+2x,∴2a+b=b+2,a+b+3=3,解得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+3.(2)由(1)得g(x)=x2-|x|+3+m,在平面直角坐标系中,画出函数g(x)的图像,如图所示,由于函数g(x)有4个零点,因此函数g(x)的图像与x轴有4个交点.由图像得3+m>0,114+m<0,解得-3<m<-114,14
即实数m的取值范围是-3,-114.14.B 根据函数零点的性质知,f(1)与f(-1)一正一负,且f(1)=a+1,f(-1)=-5a+1,所以a+1>0,-5a+1<0或a+1<0,-5a+1>0,解得a>15或a<-1.故选B.15.C 由题意得,f(a)=f(b)=-2<0,而f(α)=f(β)=0,借助图像(图略)可知,a,b,α,β的大小关系可能是α<a<b<β,故选C.16.解析 函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在(-1,1)上是单调函数,且在区间[-1,1]上的图像是不间断的,所以f(-1)·f(1)=-4×(6a-4)<0,解得a>23,故实数a的取值范围为23,+∞.17.解析 令f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)依题意,得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图像与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出函数f(x)的大致图像,如图所示,由图像得f(-1)=2>0,f(0)=2m+1<0,f(1)=4m+2<0,f(2)=6m+5>0,解得-56<m<-12,故m的取值范围是-56,-12.(2)根据题意,得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图像与x轴有两个交点,且均在区间(0,1)内,画出函数f(x)的大致图像,如图所示,由图像得Δ=4m2-4(2m+1)>0,0<-m<1,f(0)=2m+1>0,f(1)=4m+2>0,14
即m>1+2或m<1-2,-1<m<0,m>-12,m>-12,解得-12<m<1-2,故m的取值范围是-12,1-2.能力提升练1.C2.B3.B4.C5.ABC6.AC一、单项选择题1.C 当x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x-2,令g(x)=0,得x=1;当x<0时,g(x)=x2-4-1=x2-5,令g(x)=0,得x=±5,正值舍去,所以x=-5.所以g(x)的零点为1,-5.故选C.2.B 当a=0时,方程可化为2x+1=0,解得x=-12,满足题意;当a<0时,Δ=4-4a>0,方程有两个不相等的实根,设为x1,x2(x1≠x2),则x1x2=1a<0,此时原方程有一个正实根,一个负实根,满足题意;当a>0时,令Δ=4-4a≥0,所以0<a≤1,设此时方程ax2+2x+1=0的两根分别为x3,x4,由一元二次方程根与系数的关系可得x3+x4=-2a<0,x3x4=1a>0,此时方程有两个负实根,满足题意.综上,当a≤1时,方程ax2+2x+1=0至少有一个负根.因此“a≤2”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负根”的必要不充分条件.3.B 由函数零点存在定理及函数的单调性可知,函数在区间[0,a]上有且只有一个零点,设零点为x0,因为函数是偶函数,所以f(-x0)=f(x0)=0,故其在区间[-a,0]上也有唯一零点,即函数在区间[-a,a]上存在两个零点.故选B.4.C 作出函数f(x)和y=x的大致图像如图.可知点A(-1,1+a),点C(0,1+a)在函数f(x)的图像上,而点B(0,a)不在函数f(x)的图像上,结合图像可知,当a≥-1时,函数y=f(x)-x恰有3个不同的零点.故选C.14
二、多项选择题5.ABC 当c=0时,f(x)=x|x|+bx,此时f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,A正确;当b=0,c>0时,f(x)=x|x|+c,若x≥0,f(x)=0无解,若x<0,f(x)=0有一个实数根x=-c,B正确;结合大致图像(如图)知C正确,D不正确.故选ABC.6.AC 令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,故函数y=f(x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)与函数y=1图像交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)=(x-2)(x-5)的图像与y=1的图像,如图所示,结合图像知A、C中关系错误,B、D中关系正确.故选AC.三、填空题7.答案 ⌀解析 因为f(x)=x2+2x+a,所以f(bx)=(bx)2+2bx+a=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2,则有b2=9,2b=-6,a=2,即b=-3,a=2.所以f(ax+b)=f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x2-8x+5=0.因为Δ=64-80=-16<0,所以方程f(ax+b)=0无实根.8.答案 (0,4]解析 作出函数f(x)和y=a的图像,如图所示,14
由图知,当函数f(x)与y=a的图像恰有三个交点,即f(x)=a恰有三个不同实数解时,a的取值范围是0<a≤4.四、解答题9.解析 (1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),∵y=f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,∴f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0.(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.据此可作出函数y=f(x)的图像,如图所示,根据图像得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则实数a的取值范围是(-1,1).10.解析 (1)由条件③,令x1=x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,由条件①知f(0)≥0,所以f(0)=0.(2)没有.理由如下:由条件③,令x3=x1+x2,则x2=x3-x1,得f(x3)≥f(x1)+f(x3-x1),因为x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,所以x3≥x1,1≥x3-x1≥0,所以f(x3-x1)≥0,所以f(x3)≥f(x1),所以f(x)的最大值是f(1)=1.若存在1≥ξ≥12,使得f(ξ)>2ξ≥2×12=1,与f(x)的最大值为1矛盾,所以对一切实数x∈12,1,都有f(x)≤2x,所以对一切实数x∈12,1,都有f(x)<2x+110,即f(x)-2x-110<0.所以函数g(x)=f(x)-2x-110在12,1上没有零点.14
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