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均值不等式及其应用基础过关练题组一 对均值不等式的理解 1.不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为( )A.x≥2yB.x>2yC.x≤2yD.x<2y2.若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( )A.1x+y≤14B.1x+1y≥1C.xy≥2D.1xy≥13.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使ba+ab≥2成立的条件个数为( )A.1B.2C.3D.44.下列各式中,对任意实数x都成立的一个式子是( )A.x+1≥2xB.x2+1>2xC.1x2+1≤1D.x+1x≥25.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )A.1ab>12B.1a+1b≤1C.ab≥2D.1a2+b2≤18题组二 利用均值不等式比较大小6.若a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )A.a2+b2≥2|ab|B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab|D.a2+b2>2|ab|7.已知a>0,b>0,且a≠b,则a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是( )A.a+b2B.ab18
C.a2+b22D.2aba+b8.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一个是( )A.a2+b2B.2abC.2abD.a+b9.(2020北京首都师范大学附属中学高一上期中)下列不等式正确的是( )A.x2+3x2≥23B.a2+b2≥4abC.ab≥a+b2D.a+4a≥410.某市一外贸公司,第一年产值增长率为a,第二年产值增长率为b,这两年的平均增长率为x,则x与a+b2的大小关系是 . 题组三 利用均值不等式求最值11.(2020广东台山侨中高一上第一次月考)若正实数a,b满足a+b=2,则ab的最大值为( )A.1B.22C.2D.412.(2020山东菏泽东明第一中学高一上月考)若x>0,y>0,x+3y=1,则1x+13y的最小值为( )A.2B.22C.4D.2313.若函数y=x+1x-2(x>2)在x=a处取得最小值,则a=( )A.1+2B.1+3C.3D.414.已知x≥52,则y=x2-4x+52x-4有( )A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值115.已知t>0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为( )A.-2B.12C.1D.216.(2020贵州遵义高一下期中)已知x∈0,14,则x(1-4x)取得最大值时x的值为( )18
A.14B.16C.18D.11017.(2020江西师范大学附属中学高一下期中)函数y=3+x+x21+x(x>-1)的最小值是( )A.23B.23-1C.23+1D.23-218.(2020福建师大附中高二上月考)已知a>0,b>0,若不等式2a+1b≥m2a+b恒成立,则m的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7题组四 利用均值不等式进行证明19.设x>0,求证:x+22x+1≥32.20.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c>ab+bc+ca.18
21.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<1a+1b+1c.题组五 利用均值不等式解决实际问题22.计划用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖,不计损耗),车厢宽为2m,则车厢的最大容积是( )A.(38-373)m3B.16m3C.42m3D.14m323.做一个内部面积为1m2,形状为直角三角形的铁框架,使用下面四种长度的铁管焊接最合理(够用,又浪费最少)的是( )A.4.6mB.4.8mC.5mD.5.2m24.某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金的质量( )A.大于10gB.小于10gC.大于或等于10gD.小于或等于10g25.某气象学院用32万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第一天即连续使用,使用n天的维修保养费为(2n2+48n)(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少),一共使用了 天. 26.(2020黑龙江齐齐哈尔第八中学高一上月考)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.18
能力提升练一、单项选择题1.(2020吉林白城洮南第一中学高一第一次月考,)若关于x的不等式x2+2x<ab+16ba对任意的正数a,b恒成立,则实数x的取值范围是( ) A.{x|-2<x<0}B.{x|x<-2或x>0}C.{x|-4<x<2}D.{x|x<-4或x>2}2.()已知b=a2+1a2,则|ab|的最小值为( )A.5B.4C.2D.13.(2020黑龙江牡丹江一中高一期中,)已知0<x<1,则12x+21-x的最小值为( )A.9B.92C.5D.524.()若x,y均为正实数,且12+x+12+y=13,则xy的最小值为( )A.2B.12C.14D.165.()已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )A.2B.22C.4D.56.()已知正整数a,b满足4a+b=30,则使1a+1b取得最小值的实数对(a,b)是( )A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)7.()若3xy=x+y+1且x>0,y>0,则xy的最小值为( )A.1B.2C.3D.418
8.(2020浙江杭州学军中学高一上月考,)若正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为( )A.0B.3C.94D.1二、多项选择题9.()下列不等式一定成立的是( )A.x2+14>x(x>0)B.x+1x≥2(x>0)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)10.()下列结论正确的是( )A.当x>0时,x+1x≥2B.当x>2时,x+1x的最小值是2C.当x<54时,y=4x-2+14x-5的最小值为5D.当x>0,y>0时,xy+yx≥211.()设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是( )A.a2+1>aB.a+1ab+1b≥4C.(a+b)1a+1b≥4D.若1a+1b=1,则ab≤4三、填空题12.()若x>1,则不等式x2+3x-1的最小值为 . 13.()已知x>-1,则函数y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为 . 14.(2020福建连城一中高一上月考,)若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是 . 15.(2020浙江丽水高一期末,)若正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a= ,b= . 18
四、解答题16.(2020山东济南外国语学校高一期中,)已知函数y=x2-x+m.(1)当m=-2时,求不等式y>0的解集;(2)若m>0,y<0的解集为{x|a<x<b},求1a+4b的最小值.17.()已知a>0,b>0,c>0,求证:a2b+b2c+c2a≥a+b+c.18.(2020安徽六安舒城中学高一上第二次月考,)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,每件产品的销售价为“平均每件产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和,该企业生产的产品恰好当年完成销售.18
(1)试写出年利润W(万元)关于年广告费x(万元)的函数解析式;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?19.()设a>b>0,求a2+1ab+1a(a-b)的最小值.20.()为迎接北京冬奥会,某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌,该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目,这三个矩形栏目的面积之和为60000cm2,四周空白的宽度为10cm,栏目与栏目之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸(单位:cm),使整个矩形广告牌面积最小?18
21.(2020山东济南历城二中十月月考,)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求m2+2m+5m+1的最小值;(3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.18
答案全解全析第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用基础过关练1.B2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.D9.A11.A12.C13.C14.D15.A16.C17.B18.B22.B23.C24.A1.B 因为均值不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y.故选B.2.B 解法一:取x=1,y=2,满足x+y≤4,排除A、C、D,故选B.解法二:∵0<x+y≤4,∴1x+y≥14,故A不成立;∵4≥x+y≥2xy,∴xy≤2,故C不成立;18
由xy≤2得0<xy≤4,∴1xy≥14,故D不成立;1x+1y=x+yxy≥2xyxy=2xy,∵0<xy≤2,∴1xy≥12,∴1x+1y≥1,故B成立.3.C 当ba,ab均为正数时,ba+ab≥2,故只需a,b同号即可,则①③④均满足要求.故选C.4.C 对于A,当x<0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于D,当x<0时,x+1x≤-2,故D不恒成立;对于C,x2+1≥1,所以1x2+1≤1恒成立.故选C.5.D ∵a>0,b>0,a+b=4,∴ab≤a+b2=2,∴ab≤4,∴1ab≥14,∴1a+1b=a+bab=4ab≥1,故A、B、C均不成立.故选D.6.A 因为a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,所以a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).7.D ∵a>0,b>0,∴2aba+b=21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,当且仅当a=b时,等号成立,又∵a≠b,∴等号取不到,∴2aba+b最小.8.D ∵0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴a2+b2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2.9.A A.∵x2>0,3x2>0,∴x2+3x2≥2x2·3x2=23,当且仅当x2=3x2,即x2=3时,等号成立,故A项正确.B.当a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故不正确;C.当a>0,b>0时,ab≤a+b2,故不正确;D.当a<0时,a+4a≥4不成立,只有当a>0时,a+4a≥4成立,故不正确.10.答案 x≤a+b2解析 由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤1+a+1+b22=1+a+b22,当且仅当a=b时,等号成立,所以1+x≤1+a+b2,即x≤a+b2.11.A 当a,b为正实数时,由ab≤a+b2,得18
ab≤a+b22=222=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.∴ab的最大值为1.12.C ∵x>0,y>0,x+3y=1,∴1x+13y=1x+13y(x+3y)=2+3yx+x3y≥2+23yx·x3y=4,当且仅当3yx=x3y,即x=3y=12时取等号,故1x+13y的最小值为4.故选C.13.C ∵x>2,∴x-2>0,∴y=x+1x-2=(x-2)+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2(x>2),即x=3时,等号成立,∴a=3.14.D y=x2-4x+52x-4=(x-2)2+12(x-2)=12(x-2)+1x-2,因为x≥52,所以x-2>0,所以y=x2-4x+52x-4=12(x-2)+1x-2≥12×2(x-2)·1x-2=1.当且仅当x-2=1x-2,即x=3时取等号.所以y=x2-4x+52x-4有最小值,最小值为1.15.A 因为t>0,所以y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2t·1t-4=-2,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立.故函数的最小值为-2.故选A.16.C 因为x∈0,14,所以4x>0,1-4x>0,所以x(1-4x)=14·4x(1-4x)≤14·4x+1-4x22=116,当且仅当4x=1-4x,即x=18时,等号成立.17.B ∵x>-1,∴x+1>0,∴y=3+x+x21+x=31+x+x=31+x+x+1-1≥23-1,当且仅当31+x=x+1,即x=3-1时等号成立,所以y=3+x+x21+x(x>-1)的最小值为23-1.故选B.18.B 因为a>0,b>0,2a+1b≥m2a+b,所以m≤2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab.18
又因为5+2ba+2ab≥5+4=9,当且仅当a=b时等号成立,所以m≤9,故m的最大值为9.19.证明 因为x>0,所以x+12>0,所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12-12≥2x+12·1x+12-12=32.当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.20.证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴a+b≥2ab>0①,b+c≥2bc>0②,c+a≥2ca>0③,∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca),即a+b+c≥ab+bc+ca.又∵a,b,c为不全相等的正实数,∴①②③式中三个等号不能同时成立.∴a+b+c>ab+bc+ca.21.证明 因为a,b,c都是正实数,且abc=1,所以1a+1b≥21ab=2c,1b+1c≥21bc=2a,1a+1c≥21ac=2b,以上三个不等式相加,得21a+1b+1c≥2(a+b+c),又因为a,b,c不全相等,所以此式不能取等号,所以a+b+c<1a+1b+1c.22.B 设长方体车厢长为am,高为hm(a>0,h>0),则有2a+2(2h)+2(ah)=32,即a+2h+ah=16,∵a+2h+ah≥22ah+ah,当且仅当a=2h时,等号成立,∴16≥22ah+ah,即(ah)2+22·ah-16≤0,解得0<ah≤22,∴0<ah≤8,当且仅当a=2h=4时,等号成立.∴车厢的容积V=2ah≤16m3.故选B.23.C 设直角三角形两直角边长分别为xm,ym,则12xy=1,即xy=2.三角形的周长l=x+y+x2+y2≥2xy+2xy=22+2≈4.83(m),18
当且仅当x=y时取等号.故选C.24.A 由于天平的两臂不等长,故可设天平左臂长为a,右臂长为b(不妨设a>b),先称得的黄金的实际质量为m1,后称得的黄金的实际质量为m2.由杠杆的平衡原理,得bm1=a×5,am2=b×5,解得m1=5ab,m2=5ba,则m1+m2=5ab+5ba,所以(m1+m2)-10=5ab+5ba-10≥25ab·5ba-10=0,当且仅当5ab=5ba,即a=b时,等号成立.又因为a≠b,所以(m1+m2)-10>0,即m1+m2>10.所以顾客实际所得黄金质量大于10g.25.答案 400解析 设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为320000+2n2+48nn=320000n+2n+48≥2320000n·2n+48=1600+48=1648,当且仅当320000n=2n,即n=400时,等号成立,故一共使用了400天.26.解析 (1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理,得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300.(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,技术改进后,A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则1.5·(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,又x>0,∴a≤x125+500x+1.5恒成立,又x125+500x≥4,当且仅当x=250时等号成立,∴0<a≤5.5,即a的最大值为5.5.能力提升练1.C2.C3.B4.D5.C6.A7.A8.D9.BC10.AD11.ABC一、单项选择题1.C 因为a>0,b>0,所以ab+16ba≥2ab·16ba=8(当且仅当a=4b时,等号成立),由题意得x2+2x<8,解得-4<x<2.2.C 由题意得|ab|=a2+1a=|a|+1|a|≥2,当且仅当|a|=1|a|,即a=±1时,等号成立,故|ab|的最小值为2.3.B 12x+21-x=12x+21-x=52+12(1-x)x+2x1-x.∵0<x<1,∴1-x>0,∴12(1-x)x+2x1-x≥212(1-x)x·2x1-x=2,18
当且仅当12(1-x)x=2x1-x,即x=13时,等号成立.∴12x+21-x的最小值为52+2=92.4.D 12+x+12+y=13可化为xy=8+x+y,∵x,y均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2xy(当且仅当x=y时,等号成立),即xy-2xy-8≥0,解得xy≥4,即xy≥16,则xy的最小值为16,故选D.5.C 因为a>0,b>0,所以1a+1b+2ab≥21ab+2ab=21ab+ab≥4,当且仅当1a=1b,且1ab=ab,即a=b=1时,等号成立,故选C.6.A 1a+1b=130×4a+ba+4a+bb=130×5+ba+4ab≥130×5+2ba·4ab=310,当且仅当ba=4ab,即b=2a时取等号,又4a+b=30,所以当a=5,b=10时,1a+1b取得最小值.故选A.7.A 因为x>0,y>0,所以3xy=x+y+1≥2xy+1,所以3xy-2xy-1≥0,即3(xy)2-2xy-1≥0,所以(3xy+1)(xy-1)≥0,所以xy≥1,所以xy≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以xy的最小值为1.8.D 由正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤12xy·4yx-3=1,当且仅当x=2y>0时取等号,此时z=2y2.∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时取等号,即2x+1y-2z的最大值为1.二、多项选择题9.BC 对于A,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式显然恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+1≥1,所以0<1x2+1≤1,所以D不成立.故选BC.10.AD 在A中,当x>0时,x>0,x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,结论正确;在B中,x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时取等号,而x>2,故等号取不到,因此当x>2时,x+1x的最小值不是2,结论错误;在C中,因为x<54,18
所以5-4x>0,则y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2×(5-4x)·15-4x+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时取等号,结论错误;显然D正确.故选AD.11.ABC ∵a2+1-a=a-122+34>0,∴a2+1>a,故A恒成立;∵a+1a≥2,b+1b≥2,∴a+1ab+1b≥4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B恒成立;∵a+b≥2ab,1a+1b≥21ab,∴(a+b)1a+1b≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故C恒成立;∵a>0,b>0,∴1=1a+1b≥21a·1b,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故D不恒成立.故选ABC.三、填空题12.答案 6解析 因为x>1,所以x-1>0,所以x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+4x-1=(x-1)+4x-1+2≥2(x-1)·4x-1+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以x2+3x-1的最小值为6.13.答案 16解析 由x>-1得x+1>0,则y=[(x+1)+9][(x+1)+1]x+1=(x+1)2+10(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+10≥2(x+1)·9x+1+10=6+10=16,当且仅当x+1=9x+1,即x=2或x=-4(舍去)时,等号成立,所以ymin=16.14.答案 aa≥15解析 因为x>0,所以xx2+3x+1=1x+1x+3≤12x·1x+3=15,当且仅当x=1x(x>0),即x=1时等号成立,故a的取值范围是aa≥15.15.答案 1;12解析 因为a2+4b2+1ab=4,a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)2+4≥4,当且仅当a-2b=0且4ab=1ab,即a=1,b=12时,等号成立,所以a=1,b=12.四、解答题16.解析 (1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2,∴当y>0时,x2-x-2>0,18
由x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2,故不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>2}.(2)∵y<0的解集为{x|a<x<b},∴a,b为方程x2-x+m=0的两个实数根,∴a+b=1,ab=m.∵m>0,∴a>0,b>0,∴1a+4b=1a+4b(a+b)=ba+4ab+5≥2ba·4ab+5=9,当且仅当ba=4ab,即a=13,b=23时,等号成立.故1a+4b的最小值为9.17.证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴a2b,b2c,c2a均大于0,∴a2b+b≥2a2b·b=2a①,b2c+c≥2b2c·c=2b②,c2a+a≥2c2a·a=2c③,当且仅当a=b=c时,等号同时成立,①②③三式相加得a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c,∴a2b+b2c+c2a≥a+b+c.18.解析 (1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件产品的销售价为32Q+3Q×150%+xQ×50%万元,∴年销售收入为32Q+3Q×150%+xQ×50%·Q=32(32Q+3)+12x万元,∴W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x≥0).(2)令x+1=t(t≥1),则W=-(t-1)2+98(t-1)+352t=50-t2+32t.∵t≥1,∴t2+32t≥2t2·32t=8,当且仅当t2=32t,即t=8时,等号成立,∴W的最大值为50-8=42,此时x=7.18
即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.19.解析 因为a>b>0,所以a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)≥2+2=4,当且仅当ab=1,a(a-b)=1,即a=2,b=22时,等号成立.所以当a=2,b=22时,a2+1ab+1a(a-b)取得最小值4.20.解析 设每个矩形栏目的高为acm,宽为bcm(其中a>0,b>0),则ab=20000,∴b=20000a,∴整个矩形广告牌的高为(a+20)cm,宽为(3b+30)cm,∴整个矩形广告牌的面积S=(a+20)(3b+30)=30(a+2b)+60600=30a+40000a+60600≥30×2a×40000a+60600=12000+60600=72600,当且仅当a=40000a,即a=200时,取等号,此时b=100.故当矩形栏目的高为200cm,宽为100cm时,可使整个矩形广告牌的面积最小.21.解析 (1)∵M为空集,∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1<m<2,∴实数m的取值范围为{m|-1<m<2}.(2)由(1)知-1<m<2,则0<m+1<3,∴m2+2m+5m+1=(m+1)2+4m+1=(m+1)+4m+1≥2(m+1)·4m+1=4,当且仅当m+1=4m+1,即m=1时等号成立.所以m2+2m+5m+1的最小值为4.(3)x2-2mx+m+2=(x-m)2-m2+m+2,当M不为空集时,由M⊆{x|1≤x≤4},得Δ=4m2-4(m+2)≥0,12-2m+m+2≥0,42-8m+m+2≥0,1≤m≤4,解得2≤m≤187.故实数m的取值范围为m|2≤m≤187.18
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