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导数及其应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各式正确的是( )A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－x－6C [由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6．]2．函数f(x)＝lnx－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝( )A．－1B．C．D．1B [对函数求导f′(x)＝－a，k＝f′(2)＝－a＝a，所以a＝．]3．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )A．0B．2C．1D．－1A [f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0．]4．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )A．2B．1C．0D．由a确定C [f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C．]5．如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )A．－4B．2C．－2D．1D [由图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y＝4，8
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1，故选D．]6．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为( )A．B．C．D．C [∵f(x)＝x2－lnx(x>0)，∴f′(x)＝x－＝，当f′(x)<0时，解得0<x<，则函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为．故选C．]7．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，当x>0且x≠2时，(x－2)[2f(x)＋xf′(x)]<0，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率为－10，则f(2)的值为( )A．4B．6C．8D．10D [①若x>2，则2f(x)＋xf′(x)<0，②若0<x<2，2f(x)＋xf′(x)>0，令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，∵x>0，∴g(x)在x＝2时取得极值，g′(2)＝4f(2)＋4f′(2)＝0，∵f′(2)＝－10，∴f(2)＝10，故选D．]8．已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，P为抛物线的弧AOB上任意点，则当△ABP的面积最大时，P点坐标为( )A．(0，0)B．(1，1)C．D．(2，)B [设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．∵直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大．只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧AOB上的一点，∴点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝，∴k1＝＝，即x0＝1，∴y0＝1，∴P(1，1)，故选B．]8
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．则下列说法正确的有( )A．前四年该产品产量增长速度越来越快B．前四年该产品产量增长速度越来越慢C．第四年后该产品停止生产D．第四年后该产品年产量保持不变BD [设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(x)在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))，(4，f(4))处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD．故选BD．]10．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，下列结论正确的是( )A．f′(0)＝20!B．f′(1)＝19!C．f′(19)＝－19!D．f′(20)＝－20!AC [∵f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，∴f′(x)＝(x－1)(x－2)…(x－20)＋x(x－2)…(x－20)＋x(x－1)(x－3)…(x－20)＋…＋x(x－1)…(x－19)，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×…×(－20)＝20！，即A正确；f′(1)＝1×(－1)×(－2)×…×(－19)＝－19！，即B错误，C正确；f′(20)＝20×19×…×1＝20！，故D错误，故选AC．]11．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是( )A．f(x)＝x2B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝ACD [在A中，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，则x2＝2x，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝＝ln＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；在C中，若f(x)＝lnx，则f′(x)＝，由lnx＝8
，令y＝lnx，y＝(x>0)，作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；在D中，若f(x)＝，则f′(x)＝－，由＝－，可得x＝－1，故D符合要求．故选ACD．]12．设函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )A．f(x)在区间(1，2)上有最大值B．x∈(0，1)时，f(x)图像位于x轴下方C．f(x)存在单调递增区间D．f(x)有且仅有两个极值点BC [∵f(x)＝(x>0，x≠1)，则f′(x)＝，令g(x)＝lnx－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1<0，g(2)＝ln2－>0，所以函数f(x)在(1，2)上先减后增，没有最大值，所以A不正确；由f(x)＝，当x∈(0，1)时，lnx<0，∴f(x)<0，所以f(x)在(0，1)上的图像都在x轴的下方，所以B正确；因为f′(x)>0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以C是正确的；由g(x)＝lnx－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，则函数f′(x)＝0只有一个根x0，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，1)∪(1，x0)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增．所以函数只有一个极小值，所以D不正确，故选BC．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝(x＋1)ex－1＋a在(1，f(1))处的切线经过点(3，7)，则实数a＝________．－1 [由f(x)＝(x＋1)ex－1＋a，得f′(x)＝ex－1(x＋2)，f′(1)＝3，f(1)＝a＋2，而切线过点(3，7)，从而有＝3，解得a＝－1．]14．若函数f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)在(0，1)上有极值点，则m8
的取值范围为________．(－2，0) [因为f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)，所以f′(x)＝m·ex－2x＋2(m<0)，因为函数f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)在(0，1)上有极值点，所以f′(x)＝m·ex－2x＋2(m<0)在(0，1)上有零点，因为y＝m·ex(m<0)，y＝－2x＋2在(0，1)上都递减，所以f′(x)在(0，1)上为减函数，所以，解得－2<m<0．]15．函数y＝x3－6x＋5的图像在点(1，0)处切线的方程是________，该函数的单调递减区间是________．(本题第一空2分，第二空3分)y＋3x－3＝0 (－，) [函数y＝x3－6x＋5的导函数为y′＝3x2－6，所以当x＝1时，切线斜率k＝－3，所以函数y＝x3－6x＋5的图像在点(1，0)处切线的方程为y＝－3(x－1)，即y＋3x－3＝0，由y′＝3x2－6<0解得－<x<，所以函数y＝x3－6x＋5的单调递减区间是(－，)．]16．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80<x<100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．40 [净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝(80<x<100)．所以c′(x)＝＝，又因为c′(90)＝＝40，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．(1)求导数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．[解] (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4．(2)由f′(－1)＝0，得a＝，此时有f(x)＝(x2－4)·，f′(x)＝3x2－x－4．令f′(x)＝0，得x＝或x＝－1．8
又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，∴f(x)在[－2，2]上的最大值为，最小值为－．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．[解] (1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，∴f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即＝0．解得x＝0或x＝a－1．当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为：x(－1，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝alna－a2＋．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为128
000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得0＜r<5，故函数V(r)的定义域为(0，5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8．即当r＝5m，h＝8m时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－alnx＋(1－a)x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)>恒成立，求正实数a的取值范围．[解] (1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＋1－a＝＝，当a≤0时，在(0，＋∞)上f′(x)≥0，所以f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)>0有x>a，令f′(x)<0有0<x<a，所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．(2)令g(x)＝f(x)－，由(1)及a为正数知，g(x)＝f(x)－在x＝a处取最小值，所以f(x)>恒成立等价于g(a)>0，即－alna＋(1－a)a>0，8
整理得lna＋a－1<0，令h(x)＝lnx＋x－1，易知h(x)为增函数，且h(1)＝0，所以lna＋a－1<0的a的取值范围是0<a<1．所以正实数a的取值范围是(0，1)．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．(1)求a，b的值；(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>．[解] (1)f′(x)＝－，由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，故即解得(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，所以f(x)－＝．设函数h(x)＝2lnx－(x>0)，则h′(x)＝－＝－．所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，h(x)>0，得f(x)>；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>．故当x>0，且x≠1时，f(x)>．8
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