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17第2课时函数最值的求法课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)

资料简介

函数最值的求法(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m的值为(  )A.16   B.12   C.32   D.6C [f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),由f(-3)=17,f(3)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,可知M-m=24-(-8)=32.]2.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为(  )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)A [令F(x)=f(x)-g(x),∵f′(x)<g′(x),∴F′(x)=f′(x)-g′(x)<0,∴F(x)在[a,b]上单调递减,∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a).]3.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为(  )A.1-eB.-1C.-eD.0B [因为f′(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f′(x)>0.当x∈(1,e]时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减.所以当x=1时,f(x)取得极大值,也是最大值,为ln1-1=-1.故选B.]4.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是(  )A.3B.18C.20D.0C [令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,则f(x)min=f(-3)=-19,f(x)max=f(-1)=f(2)=1,由题意知|f(x1)-f(x2)|max=|-19-1|=20,∴t≥20,故tmin=20.]5.函数f(x)=x3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为[1,+∞),并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,那么a的取值范围是(  )6 A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.D.A [设h(x)=f(x)-g(x)=x3-x2+a-x2+3x,则h′(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),所以当x∈[1,3)时,h(x)单调递减;当x∈(3,+∞)时,h(x)单调递增.当x=3时,函数h(x)取得极小值也是最小值.因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方,所以h(x)min>0,即h(3)=a>0,所以a的取值范围是(0,+∞).]二、填空题6.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为________.-71 [f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).令f′(x)=0得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.则f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.]7.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________. [由题意画出函数图像如图所示,由图可以看出|MN|=y=t2-lnt(t>0),则y′=2t-==.6 当0<t<时,y′<0,可知y在内单调递减;当t>时,y′>0,可知y在内单调递增.故当t=时,|MN|有最小值.]8.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为________.[4,+∞) [因为x∈(0,1],f(x)≥0可化为a≥-,设g(x)=-,则g′(x)=.令g′(x)=0,得x=.当0<x<时,g′(x)>0;当<x≤1时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有极大值g=4,它也是最大值,所以a≥4.]三、解答题9.已知函数f(x)=x3-ax+1,f′(x)是f(x)的导函数,且f′=0.(1)求a的值;(2)求函数f(x)在区间[-4,5]上的最值.[解] (1)∵f(x)=x3-ax+1(x∈R),∴f′(x)=x2-a,∵f′(2)=4-a=0,∴a=4.(2)由(1)可得:f(x)=x3-4x+1,f′(x)=x2-4,令f′(x)=x2-4=0,解得x=±2.列出表格如下:x[-4,-2)-2(-2,2)2(2,5]f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值-↗又∵f(-4)=-=f(2),f(5)=>.6 所以函数f(x)在区间[-4,5]上的最大值为,最小值为-.10.已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.[解] (1)由f(x)=(x-k)ex,得f′(x)=(x-k+1)ex,令f′(x)=0,得x=k-1.当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f′(x)-0+f(x)↘-ek-1↗所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上可知,当k≤1时,f(x)min=-k;当1<k<2时,f(x)min=-ek-1;当k≥2时,f(x)min=(1-k)e.1.若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是(  )A.(-1,)B.(-1,4)C.(-1,2]D.(-1,2)C [由f′(x)=3-3x2=0,得x=±1.当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘-2↗2↘由此得a2-12<-1<a,解得-1<a<.又当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减,且当x=2时,f(x)=-2.∴a≤2.综上,-1<a≤2.]6 2.(多选题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示.x-1045f(x)1221下列关于函数f(x)的命题中真命题为(  )A.函数y=f(x)是周期函数B.函数f(x)在[0,2]上是减函数C.如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为5D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点BC [由图像不能判断出y=f(x)是否为周期函数,故A错误;由已知中y=f′(x)的图像可得在[0,2]上f′(x)<0,即f(x)在[0,2]是减函数,即B正确;由已知中y=f′(x)的图像,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,若x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么0≤t≤5,故t的最大值为5,即C正确;由f(x)=a,因为极小值f(2)未知,所以无法判断函数y=f(x)-a有几个零点,所以D错误.故选BC.]3.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,则实数a=________,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________.3 -13 [对函数f(x)求导得f′(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又∵f′(x)=-3x2+6x的图像开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9,故f(m)+f′(n)的最小值为-13.]4.若函数f(x)=在(-2,a)上有最小值,则a的取值范围为________.(-1,+∞) [f′(x)=,令f′(x)>0,解得x>-1;令f′(x)<0,解得x<-1.6 故f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,若f(x)在(-2,a)上有最小值,则a>-1.]已知函数f(x)=lnx+.(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.[解] 函数f(x)=lnx+的定义域为(0,+∞),f′(x)=-=.(1)∵a<0,∴f′(x)>0,故函数在其定义域(0,+∞)上单调递增.(2)当x∈[1,e]时,分如下情况讨论:①当a<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾;②当a=1时,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=1,同样与最小值是相矛盾;③当1<a<e时,函数f(x)在[1,a)上有f′(x)<0,f(x)单调递减,在(a,e]上有f′(x)>0,f(x)单调递增,所以,函数f(x)的最小值为f(a)=lna+1,由lna+1=,得a=.④当a=e时,函数f(x)在[1,e]上有f′(x)≤0,f(x)单调递减,其最小值为f(e)=2,这与最小值是相矛盾;⑤当a>e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+>2,仍与最小值是相矛盾.综上所述,a的值为.6 查看更多

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