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16第1课时函数的导数与极值课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)

资料简介

函数的导数与极值(建议用时:40分钟)一、选择题1.下列结论中,正确的是(  )A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x0点附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值C.如果在x0点附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极小值D.如果在x0点附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极大值B [根据极值的概念,左侧f′(x)>0,单调递增;右侧f′(x)<0,单调递减,f(x0)为极大值.]2.设函数f(x)=+lnx,则(  )A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点D [f′(x)=-,令f′(x)=0,即-=0,得x=2,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.因此x=2为f(x)的极小值点,故选D.]3.若x=1是函数f(x)=ex-ax的极值点,则方程f(x)=a在(2,+∞)的不同实根个数为(  )A.1    B.2    C.3    D.0A [由f′(x)=ex-a,得f′(1)=e-a=0,则a=e,f(x)=ex-ex,函数f(x)在(2,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,f(2)=e2-2e<e,函数y=f(x)与y=a的交点个数为1个,故选A.]4.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则点(a,b)为(  )A.(3,-3)B.(-4,11)C.(3,-3)或(-4,11)D.不存在B [f′(x)=3x2-2ax-b,6 ∵当x=1时,f(x)有极值10,∴解得或验证知当a=3,b=-3时,在x=1处无极值,∴a=-4,b=11.]5.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是(  )A.(0,3)B.(-∞,3)C.(0,+∞)D.D [令y′=3x2-2a=0,得x=±.由题意知,当a>0时,有∈(0,1),即0<<1,解得0<a<.当a=0和a<0时,f(x)在(0,1)内无极小值,不符题意,故选D.]二、填空题6.函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.y=- [令y′=ex+xex=(1+x)ex=0,得x=-1,∴y=-,∴函数y=xex在极值点处的切线方程为y=-.]7.已知函数f(x)=ax3+bx2+2,其导函数f′(x)的图像如图所示,则函数的极小值是________.2 [由题图可知,当x<0时,f′(x)<0,当0<x<2时,f′(x)>0,故当x=0时,函数f(x)取极小值f(0)=2.]8.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为________.(-∞,-1) [∵y=ex+ax,∴y′=ex+a,令y′=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.]6 三、解答题9.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.[解] (1)因为f(x)=alnx+bx2+x,所以f′(x)=+2bx+1.依题意得f′(1)=f′(2)=0,即解方程组得a=-,b=-.(2)由(1)知,f(x)=-lnx-x2+x(x>0),故f′(x)=--x+1=.当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,2)时,f′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值-ln2.所以x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.10.已知函数f(x)=,若函数在区间(其中a>0)上存在极值,求实数a的取值范围.[解] 因为f(x)=,x>0,则f′(x)=-,当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在x=1处取得极大值.因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值,所以解得<a<1.1.(多选题)函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x6 )的部分图像如图所示,则下面结论正确的是(  )A.在(1,2)上函数f(x)为增函数B.在(3,4)上函数f(x)为减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点ABC [由图可知,当1<x<2时,f′(x)>0,当2<x<4时,f′(x)<0,当4<x<5时,f′(x)>0,∴x=2是函数f(x)的极大值点,x=4是函数f(x)的极小值点,故A,B,C正确,D错误.]2.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图像,则x+x等于(  )A.B.C.D.C [函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3-3x2+2x的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,x+x=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.]3.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴相切于(1,0)点,则f(x)的极大值为________,极小值为________. 0 [f′(x)=3x2-2px-q,依题意知,∴解得p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)=0,得x=1或x=.6 ∴当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴当x=时,函数有极大值f=-2×+=,当x=1时,函数有极小值f(1)=1-2+1=0.]4.已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)上有两个极值点,则实数m的取值范围为________.(3,+∞) [f′(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,所以导数f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)上与x轴有两个不同的交点,如图所示.所以解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).]设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?[解] (1)∵f′(x)=3x2-2x-1,令f′(x)=0,则x=-或x=1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-)-1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)的极大值是f=+a,极小值是f(1)=a-1.6 (2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0,x取足够小的负数时,有f(x)<0,∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值=f=+a,f(x)极小值=f(1)=a-1.∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0,即+a<0或a-1>0,∴a<-或a>1,∴当a∈∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.6 查看更多

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