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函数的导数与极值(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列结论中，正确的是( )A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值B [根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．]2．设函数f(x)＝＋lnx，则( )A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D [f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0．因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D．]3．若x＝1是函数f(x)＝ex－ax的极值点，则方程f(x)＝a在(2，＋∞)的不同实根个数为( )A．1 B．2 C．3 D．0A [由f′(x)＝ex－a，得f′(1)＝e－a＝0，则a＝e，f(x)＝ex－ex，函数f(x)在(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(2)＝e2－2e<e，函数y＝f(x)与y＝a的交点个数为1个，故选A．]4．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为( )A．(3，－3)B．(－4，11)C．(3，－3)或(－4，11)D．不存在B [f′(x)＝3x2－2ax－b，6
∵当x＝1时，f(x)有极值10，∴解得或验证知当a＝3，b＝－3时，在x＝1处无极值，∴a＝－4，b＝11．]5．函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．(0，3)B．(－∞，3)C．(0，＋∞)D．D [令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±．由题意知，当a>0时，有∈(0，1)，即0<<1，解得0<a<．当a＝0和a<0时，f(x)在(0，1)内无极小值，不符题意，故选D．]二、填空题6．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．y＝－ [令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1，∴y＝－，∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－．]7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．2 [由题图可知，当x<0时，f′(x)<0，当0<x<2时，f′(x)>0，故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2．]8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．(－∞，－1) [∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1．]6
三、解答题9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解] (1)因为f(x)＝alnx＋bx2＋x，所以f′(x)＝＋2bx＋1．依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，即解方程组得a＝－，b＝－．(2)由(1)知，f(x)＝－lnx－x2＋x(x>0)，故f′(x)＝－－x＋1＝．当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0．故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln2．所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．[解] 因为f(x)＝，x>0，则f′(x)＝－，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0．所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，所以解得<a<1．1．(多选题)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x6
)的部分图像如图所示，则下面结论正确的是( )A．在(1，2)上函数f(x)为增函数B．在(3，4)上函数f(x)为减函数C．在(1，3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点ABC [由图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于( )A．B．C．D．C [函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3－3x2＋2x的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝．]3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1，0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________． 0 [f′(x)＝3x2－2px－q，依题意知，∴解得p＝2，q＝－1．∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝．6
∴当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝时，函数有极大值f＝－2×＋＝，当x＝1时，函数有极小值f(1)＝1－2＋1＝0．]4．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)上有两个极值点，则实数m的取值范围为________．(3，＋∞) [f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6．因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)上与x轴有两个不同的交点，如图所示．所以解得m>3．故实数m的取值范围是(3，＋∞)．]设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a．(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？[解] (1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是f(1)＝a－1．6
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1．∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．6
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