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9数列的应用课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)

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资料简介

数列的应用(建议用时:40分钟)一、选择题1.在金秋的苹果节上,某商家将参展的苹果摆成16层,从上到下每层的苹果数是一个等差数列.已知第8层和第9层共有苹果40个,则此商家参展的苹果共有(  )A.300个  B.320个C.340个D.360个B [由题意,在等差数列{an}中,n=16,a8+a9=40,则S16==8(a8+a9)=8×40=320.故选B.]2.某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的总产值是(  )A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)aB [去年产值是a,第一年要比去年产值增加10%,那么第一年就是a+10%a,即a(1+0.1),第二年又比第一年增加10%,所以第二年是a(1+0.1)(1+0.1),依此类推,第五年是a(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)=1.15a,故选B.]3.某人2020年元旦存入一年期款a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2025年元旦可取款(  )A.a(1+x)5B.a(1+x)6C.a(1+x)4D.a(1+x5)A [一年后,可取回款a(1+x),二年后,可取回款a(1+x)2,三年后,可取回款a(1+x)3,四年后,可取回款a(1+x)4,五年后,可取回款a(1+x)5,故选A.]4.某县2020年12月末人口总数为57万,假如从2021年元月1日起,人口总数每月按相同数目增加,则到2021年12月末为止人口总数为57.24万,则2021年10月末的人口总数为(  )A.57.1万B.57.2万C.57.22万D.57.23万B6  [根据题意,某县2020年12月末人口总数为57万,从2021年元月1日起人口总数每月按相同数目增加,则每月月末的该县的总人口为等差数列,设这个数列为{an},且a1=57,设其公差为d(单位为万),又由到2021年12月末为止人口总数为57.24万,则有a1=57,a13=57.24,则有d==0.02,2021年10月末的人口总数为即a11=a1+10d=57.2.故选B.]5.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布多少尺?(  )A.   B.   C.9   D.10B [根据题意,该女子每天织的布组成等比数列,且其公比为2,设该等比数列为{an},又由她5天共织布5尺,则S5==5,解可得a1=,则a2=a1×q=×2=,故选B.]二、填空题6.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1,过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,以此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=________. [法一:直接递推归纳:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,则A5A6=a7=a1×q6=2×=.法二:求通项:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,∴An-1An=an+1=sin·an=an.6 所以{an}是以a1=2为首项,为公比的等比数列,故a7=a1×q6=2×=.]7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟.7 [1+2+22+23+…+2n-1≥100,∴≥100,∴2n≥101,∴n≥7,即至少需7秒细菌将病毒全部杀死.]8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出________万元资金进行奖励.2046 [设第十名到第一名得到的奖金分别是a1,a2,…,a10,则an=Sn+1,∴a1=2,an-an-1=an,∴an=2an-1.则每人所得奖金数组成一个以2为首项,公比为2的等比数列,所以S10==2046.]三、解答题9.小张在2020年初向建行贷款50万元购房,银行贷款的年利率为4%,要求从贷款开始到2030年要分10年还清,每年年底等额归还且每年1次,每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)?(提示:(1+4%)10≈1.48)[解] 50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等,故有购房款50万元十年的本息和:50(1+4%)10,每年还x万元的本息和:x·(1+4%)9+x·(1+4%)8+…+x=·x,从而有50(1+4%)10=·x,解得x≈6.17,即每年至少要还6.17万元.10.用分期付款方法购买电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完,若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花多少钱?[解] 购买时付150元,欠1000元,每月付50元,分20次付清,设每月付款数顺次成数列{an},则6 a1=50+1000×1%=60(元),a2=50+(1000-50)×1%=59.5=(60-0.5×1)(元),a3=50+(1000-50×2)×1%=59=(60-0.5×2)(元),…,依次类推,a10=50+(1000-50×9)×1%=55.5=(60-0.5×9)(元),an=60-0.5(n-1)=-0.5n+60.5(1≤n≤20).所以{an}组成以60为首项,-0.5为公差的等差数列,所以总数=S20+150=20a1++150=1255(元),所以第十个月该交55.5元,全部付清实际花1255元.1.若某政府增加环境治理费用a亿元,每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费,经过10轮影响之后,最后的国内消费总额为400亿元,则a的值约为(最初政府支出也算是国内消费,结果精确到1).(  )A.150   B.180   C.200   D.240C [依题意可知a+a×50%+a×(50%)2+…+a×(50%)10==400,解得a≈200.]2.(多选题)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”,则下列说法正确的是(  )A.此人第三天走了四十八里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的D.此人前三天走的路程是后三天走的路程的8倍ABD [根据题意知,此人每天行走的路程成等比数列,设此人第n天走an里路,则{an}是首项为a1,公比为q=的等比数列.∴S6===378,解得a1=192.∴a3=a1q2=192×=48,∴A正确.由a1=192,S6=378,得a2+a3+a4+a5+a6=S6-a1=378-192=186,又192-186=6,∴B正确.6 ∵a2=a1q=192×=96,S6=94.5,∴a2>S6,∴C不正确.∵a1+a2+a3=a1=192×=336,∴后3天走的路程为378-336=42,而且42×8=336,∴D正确.故选ABD.]3.某市利用省运会的契机,鼓励全民健身,从7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台,B型健身器材64台,计划8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2000台,则a的最小值为________.74 [设B型健身器材这6个月投放量为{bn},则bn是以b1=64为首项,q=的等比数列,q≠1,∴其前6项和为S6==1330,∴5a+300+1330≥2000,解得a≥74,故a的最小值为74.]4.今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是________.4039 [设每个30分钟进去的人数构成数列{an},则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,…,an=2n-(n-1).设数列{an}的前n项和为Sn,依题意,只需求S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(211-10)=(2+22+23+…+211)-(1+2+…+10)=-=212-2-55=212-57=4039.]流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据资料统计,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制.从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共有86 670人.问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数.[解] 设从11月1日起第n(n∈N+,1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多,则从11月1日至第n日止,每日新患者人数依次构成一个等差数列,这个等差数列的首项为20,公差为50,前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn=20n+·50=25n2-5n.从第n+1日开始,至11月30日止,每日的新患者人数依次构成另一等差数列,这个等差数列的首项为[20+(n-1)·50]-30=50n-60,公差为-30,项数为(30-n),(30-n)日的患者总人数为T30-n=(30-n)·(50n-60)+(-30)=(30-n)·(65n-495)=-65n2+2445n-14850.依题意,Sn+T30-n=8670,即(25n2-5n)+(-65n2+2445n-14850)=8670.化简得n2-61n+588=0,解得n=12或n=49.∵1≤n≤30.∴n=12.第12日的新患者人数为20+(12-1)·50=570.∴11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,且这一天的新患者人数为570人.6 查看更多

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