资料简介
等比数列的前n项和(建议用时:40分钟)一、选择题1.数列{2n-1}的前99项和为( )A.2100-1 B.1-2100C.299-1D.1-299C [数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.]2.等比数列1,a,a2,a3,…(a≠0)的前n项和Sn=( )A.B.C.D.C [当a=1时,Sn=n;当a≠1时,Sn=.]3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31 B.32 C.63 D.64C [法一:由(S4-S2)2=S2(S6-S4),即144=3(S6-15),解得S6=63.法二:由S4=S2+q2S2⇒15=3+3q2⇒q2=4,所以S6=S2+q2S4=3+4×15=63.]4.在等比数列{an}中,a3=,其前三项的和S3=,则数列{an}的公比q=( )A.-B.C.-或1D.或1C [由题意,可得a1q2=,a1+a1q+a1q2=,两式相除,得=3,解得q=-或1.]5.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=( )A.3×44B.3×44+1C.43D.43+1A [已知an+1=3Sn,则当n≥2时,an=3Sn-1,两式作差,得an+1-an=3(Sn-Sn-1),即an+1=4an,也即数列从第2项起,是以a2=3为首项,4为公比的等比数列,从而an=3·4n-2,n≥2.5
由于a1=1,则an=于是a6=3×44.]二、填空题6.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.6 [∵a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,又∵Sn=126,∴=126,∴n=6.]7.已知等比数列{an}的公比q=,则=________.3 [∵q=,∴==3.]8.在等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则公比q=________.3或-4 [∵S3===26,∴q2+q-12=0,∴q=3或-4.]三、解答题9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求{an}的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.[解] (1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-.(2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4.从而Sn==.10.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2,等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a4+1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.[解] (1)由a1=1,an+1-an=2得,an=2n-1,b1=1,b4=8,所以公比q=2,所以bn=2n-1.(2)cn=(2n-1)2n-1,Sn=1·1+3·2+5·22+…+(2n-1)2n-1,2Sn=1·2+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)2n,上述两式作差得5
-Sn=1+2·2+2·22+2·23+…+2·2n-1-(2n-1)2n,即-Sn=1+2-(2n-1)2n,所以Sn=3-2n(3-2n).1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为( )A.fB.fC.fD.fB [由题意知,十三个单音的频率构成等比数列{an},公比为,∴第六个单音的频率a6=a1·q5=f.故选B.]2.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=p,2Sn-Sn-1=2p(n≥2,p为常数),则下列结论正确的有( )A.{an}一定是等比数列B.当p=1时,S4=C.当p=时,am·an=am+nD.|a3|+|a8|=|a5|+|a6|BC [由a1=p,2Sn-Sn-1=2p①得,2(a2+p)-p=2p,故a2=,则=,当n≥2时,有2Sn-1-Sn-2=2p②,由①-②得2an-an-1=0,即=,故当p≠0时,数列{an}为首项为p,公比为的等比数列;当p=0时不是等比数列,故A错误;当p=1时,S4==,故B正确;当p=时,an=,则am·an==am+n,故C正确;当p≠0时,|a3|+|a8|=|p|=|p|,而|a5|+|a6|=|p|=|p|,故|a3|+|a8|>|a5|+|a6|,则D错误;故选BC.]5
3.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=________.2 [设{an}的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n=,S奇=.由题意得=.∴1+q=3,∴q=2.又当q=1时,不合题意,∴公比q=2.]4.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=________,数列{an}的前n项和Sn=________.2n-1 2n+1-n-2 [an-an-1=a1qn-1=2n-1,即相加得an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2,故an=a1+2n-2=2n-1.其前n项和Sn=-n=2n+1-n-2.]从①b1+b2+b3+…+bn=(n∈N*),②{bn}为等差数列且b2=2,2b1+b5=7,这两个条件中选择一个条件补充到问题中,并完成解答.问题:已知数列{an},{bn}满足an=2bn,且__________.(1)证明:数列{an}为等比数列;(2)若cm表示数列{bn}在区间(0,am)内的项数,求数列(cm)的前m项的和Tm.[解] (1)选择①,因为b1+b2+b3+…+bn=(n∈N*),当n=1时,b1=1,当n≥2时,bn=-=n,n=1时也成立,故bn=n,所以an=2n,==2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列.若选择②,设数列{bn}公差为d,由题意得得bn=n,所以an=2n,所以==2.所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)若选择条件①,则an=2n,所以c1对应的区间为(0,2),则c1=1;c2对应的区间为(0,4),则c2=3;5
c3对应的区间为(0,8),则c3=7;……;cm对应的区间为(0,2m),则cm=2m-1;所以Tm=21-1+22-1+…+2m-1=-m=2m+1-2-m.若选择条件②,则an=2n,所以c1对应的区间为(0,2),则c1=1;c2对应的区间为(0,4),则c2=3;c3对应的区间为(0,8),则c3=7;……;cm对应的区间为(0,2m),则cm=2m-1;所以Tm=21-1+22-1+…+2m-1=(1-2m)-m=2m+1-2-m.5
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