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等比数列的定义(建议用时：40分钟)一、选择题1．在等比数列{an}中，a2021＝8a2020，则公比q的值为( )A．2 B．3 C．4 D．8D [由等比数列的定义知q＝＝8．]2．设a1＝2，数列{2an＋1}是公比为3的等比数列，则a6等于( )A．606B．607C．608D．609B [由题意可知2an＋1＝(1＋2a1)·3n－1＝5×3n－1，∴2a6＋1＝5×36－1＝5×35，即a6＝＝607．]3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )A．64B．81C．128D．243A [∵{an}为等比数列，∴＝q＝2．又a1＋a2＝3，∴a1＝1．故a7＝1·26＝64．]4．在等比数列{an}中，若a1＝1，公比|q|≠1，且am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )A．8B．9C．10D．11D [由题意可知am＝a·q10，又a1＝1，am＝qm－1，∴qm－1＝q10，即m－1＝10，解得m＝11．故选D．]5．已知正项等比数列{an}，a2·a9＝8，则a5＝2，则公比q为( )A．B．2C．D．4B [因为数列{an}为正项等比数列，因为a2·a9＝8，所以a2·a9＝a5·a6＝8，而a5＝2，所以a6＝4，所以公比q＝2，故选B．]二、填空题6．在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝________．8 [由a4＝a1q3得q3＝2，∴a7＝a4q3＝4×2＝8．]7．若数列{an}满足a9＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝_________． [由an＋1＝2an可知数列{an}是公比为2的等比数列，又a9＝1，∴an＝a9qn－9＝2n－9，∴a5＝2－4＝．]5
8．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2．所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3．]三、解答题9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若an＝，求n．[解] (1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝．所以q＝±．当q＝时，an＝a3qn－3＝32×＝28－n；当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×．所以an＝28－n或an＝32×．(2)当an＝时，28－n＝或32×＝，解得n＝9．10．已知数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，2an＋2＝an＋an＋1，bn＝an＋1－an．(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{bn}的通项公式．[解] (1)证明：由条件得＝＝＝－．∴{bn}是等比数列．(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，∴bn＝1×＝．1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足( )A．a≠1B．a≠0或a≠1C．a≠0D．a≠0且a≠15
D [由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1．]2．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )A．B．C．D．C [第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝．又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝．]3．定义为数列{xn}的几何平均数．已知数列{an}是等比数列，a1＝2－5，它的前11项的几何平均数为25，若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为24，则被抽去的项是第__________项．11 [设等比数列{an}的公比为q，由题意，得＝25，则a1a2a3…a11＝255，根据等比数列的性质，可得a1a2a3…a11＝(a6)11＝255，解得a6＝25．又a1＝2－5，所以q5＝＝210，则q＝4，所以a11＝a1q10＝215，又在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为24，所以剩下10项的乘积为(24)10＝240，而a1a2a3…a10＝＝240，所以被抽去的是第11项．]4．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则公比q＝________，a1a2…an的最大值为________． 64 [设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64．]从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3－a4＝b25
这三个条件中任选一个，补充到下面问题中并解答下列问题．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，__________，b2＝8，b1－3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列的前k项和Tk>？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．[解] 设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，则b1＝＝，b3＝b2q＝8q．由b1－3b3＝4，得－3×8q＝4，即6q2＋q－2＝0，解得q＝或q＝－(舍去)．a1＝b4＝b2q2＝8×＝2．答案一 若选条件①．设等差数列{an}的公差为d，则S4＝4a1＋d＝20，解得d＝2，所以Sn＝2n＋×2＝n2＋n，＝＝－，所以Tk＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，令1－>，解得k>15，因为k为正整数，所以k的最小值为16．答案二 若选条件②．设等差数列{an}的公差为d，由S3＝2a3，得3a1＋d＝2(a1＋2d)，解得d＝2．所以Sn＝2n＋×2＝n2＋n，＝＝－，所以Tk＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，令1－>，解得k>15，因为k为正整数，所以k的最小值为16．答案三 若选条件③．设等差数列{an}的公差为d，由3a3－a4＝b2，得3(a1＋2d)－(a1＋3d)＝8，解得d＝5
．∴Sn＝2n＋×＝∴＝＝＝，所以Tk＝＝＝－，令Tk>，得＋<，解得k>或k<(舍去)，又k为正整数，所以k≥7，所以k的最小值为7．5
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