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5等差数列的前n项和课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)

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等差数列的前n项和(建议用时:40分钟)一、选择题1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5=(  )A.7   B.15   C.20   D.25B [设{an}的首项为a1,公差为d,则有所以所以S5=5a1+d=15.]2.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一,宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”,其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,…).若一“落一形”三角锥垛有6层,则该堆垛第6层的小球个数为(  )三角锥垛A.45B.36C.28D.21D [由题意分析可得a1=1,a2=1+2=3,a3=1+2+3=6,…,则“三角形数”的通项公式an=,a6==21.故选D.]3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(  )A.5B.7C.9D.11A [法一:∵a1+a5=2a3,∴a1+a3+a5=3a3=3,∴a3=1,∴S5==5a3=5,故选A.法二:∵a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3,∴a1+2d=1,∴S5=5a1+d=5(a1+2d)=5,故选A.]4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(  )5 A.1B.-1C.2D.A [===×=1.]5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且=,那么的值为(  )A.B.C.D.D [设S4=m,则S8=3m,由性质得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,S4=m,S8-S4=2m,所以S12-S8=3m,S16-S12=4m,所以S16=10m,∴==.]二、填空题6.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值时,n为________.23或24 [∵a24=0,∴a1<0,a2<0,…,a23<0,故S23=S24最小.]7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=22,S5=100,则S10=________.350 [法一:设等差数列{an}的公差为d,则解得所以S10=10×8+×10×9×6=350.法二:设Sn=An2+Bn,则解得所以S10=3×102+5×10=350.]8.古有女子善织布,初日织三尺,日增等尺,第四日织九尺,则第七日织__________尺,八日共织__________尺.15 80 [设该女子第n(n∈N*)日织an尺布,可知数列{an}为等差数列,设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则,解得,∴a7=a1+6d=15,S8=8a1+d=8×3+28×2=80.因此,该女子第七日织15尺布,八日共织80尺布.故答案为:15;80.]三、解答题9.在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取最小.[解] (1)由题意得解得a1=-9,d=3,∴an=3n-12.(2)法一:Sn==(3n2-21n)5 =-,∴n=3或4,此时S3=S4=-18.∴当n=3或4时,前n项和取得最小值-18.法二:设前n项的和取得最小,则得3≤n≤4,∴n=3或4.此时S3=S4=-18.∴当n=3或4时,前n项和取得最小值-18.10.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是60km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?[解] 由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)∵a15=-10×15+250=100,∴到下午6时,最后一辆车行驶了100min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15=2550(min)=(h),∴这支车队当天总共行驶的路程为×60=2550(km).1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2011=S2017,Sk=S2007,则正整数k为(  )A.2016B.2019C.2018D.2021D [因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性及S2011=S2017,Sk=S2007,可得=,解得k=2021.故选D.]2.(多选题)已知等差数列的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则下列说法正确的有(  )A.a6<0B.a7<0C.a6+a7<0D.a6+a7>0BD [由题知,S13=13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以a7<0,a6+5 a7>0.所以a6>-a7>0.故选BD.]3.设首项为a1,公差为d的递增等差数列{an}的前n项和为Sn,其中a1,d为实数,若S3·S4+12=0,则d的取值范围是__________.[4,+∞) [因为S3=3a1+×d=3a1+3d,S4=4a1+d=4a1+6d,所以S3·S4+12=(3a1+3d)(4a1+6d)+12=0,所以2a+5a1d+3d2+2=0,因为关于a1的方程有实数根,所以Δ=25d2-4×2×(3d2+2)≥0,即d2≥16,解得d≤-4或d≥4,又数列{an}为递增数列,则d≥4,∴d的取值范围是[4,+∞).故答案为:[4,+∞).]4.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列是首项为,公差为的等差数列,则{an}的通项公式为__________;若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg499]=2,则数列{[lgan]}的前2000项的和为__________.an= 3782 [∵数列是首项为,公差为的等差数列,∴=+(n-1)×=,得到Sn=,当n=1时,a1=S1==,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,又a1=,∴an=,∴[lgan]=,当-1≤lgan<0时,n=1,当0≤lgan<1时,n=2,3,…,19,当1≤lgan<2时,n=20,21,…,199,当2≤lgan<3时,n=200,201,…,1999,当lgan=3时,n=2000,故数列{[lgan]}的前2000项的和为:[lga1]+[lga2]+[lga3]+…+[lga2000]=-1×1+18×0+1×180+2×1800+3×1=3782.故答案为:an=,3782.]数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.(1)求{an}的通项公式;(2){an}的前多少项和最大;(3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Sn′.[解] (1)法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,又当n=1时,a1=S1=33-1=32满足an=34-2n.故{an}的通项公式为an5 =34-2n.法二:由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)法一:令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,故数列{an}的前17项大于或等于零.又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.法二:y=-x2+33x的对称轴为x=,距离最近的整数为16,17.由Sn=-n2+33n的图像可知:当n≤17时,an≥0,当n≥18时,an<0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.(3)由(2)知,当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.所以当n≤17时,Sn′=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2.当n≥18时,Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.故Sn′=5 查看更多

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