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1数列的概念课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)

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数列的概念(建议用时:40分钟)一、选择题1.下列数列中,既是递增数列,又是无穷数列的是(  )A.1,,,,…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-,-,-,…D.1,,,…,C [D是有穷数列,A、B是递减数列,故选C.]2.下面有四个结论,其中叙述正确的有(  )①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数;③数列若用图像表示,它是一群孤立的点;④每个数列都有通项公式.A.①②  B.②③  C.③④  D.①④B [①数列的通项公式不唯一,错误,②正确,③正确,④数列不一定有通项公式.]3.数列的通项公式为an=则a2·a3等于(  )A.70B.28C.20D.8C [由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.]4.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是(  )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列A [an==1-,当n≥2时,an-an-1=1--=-=>0,所以{an}是递增数列.]5.数列0.7,7.7,77.7,777.7,…的一个通项公式是an=(  )A.(10n-1)B.(10n-1)5 C.(10n-1)D.(10n-1)D [代入n=1检验,排除A、B、C.]二、填空题6.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:1,,,________,3,,…. [由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数,所以需要填空的数为.]7.数列11,103,1005,10007,…的一个通项公式是__________.an=10n+2n-1 [a1=10+1=101+(2×1-1),a2=100+3=102+(2×2-1),a3=1000+5=103+(2×3-1),…所以an=10n+2n-1.]8.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3为此数列的第________项.2或6 [令an=n2-8n+15=3,即n2-8n+12=0,解得n=2或6.]三、解答题9.在数列{an}中,an=.(1)求数列的第7项;(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;(3)区间内有无此数列的项?若有,有几项?[解] (1)a7==.(2)证明:因为an==1-,0<<1,所以0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)由<<,得<n2<2,又n∈N+,所以n=1,即在区间内有且只有一项是a1.10.已知数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.(1)-60是否为这个数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由;5 (2)当n分别为何值时,an=0,an>0;(3)当n为何值时,an取得最大值?并求出最大值.[解] (1)令30+n-n2=-60,即n2-n-90=0,解得n=10或n=-9(舍去),∴-60是这个数列的第10项,即a10=-60.(2)令30+n-n2=0,即n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),即当n=6时,an=0.令30+n-n2>0,即n2-n-30<0,解得-5<n<6.又n∈N+,∴当n=1,2,3,4,5时,an>0.(3)an=30+n-n2=-+,∵n∈N+,∴当n=1时,an取得最大值,最大值为30.1.雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生也与雪花类似,由等边三角形开始,把三角形的每一条边三等分,并以每一条边三等分后的中段为边,向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程,即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形(如图:(2),(3),(4)是等边三角形(1)经过第一次,第二次,第三次,变化所得雪花曲线).若按照上述规律,一个边长为3的等边三角形,经过四次变化得到的雪花曲线的周长是(  )(1)  (2)    (3)   (4)A.   B.   C.   D.C [设雪花曲线的边长分别为a1,a2,a3,a4,a5,边数为b1,b2,b3,b4,b5,周长为Sn(n=1,2,3,4,5).a2=a1×=1,a3=a2=,a4=a3=,a5=,b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,b5=3×4×4×4×4,5 S1=9,S2=12,S3=16,S4=,S5=,故选C.]2.(多选题)已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值可以为(  )A.1B.2C.3D.4AB [an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,分离变量得k<2n+1,故只需k<3即可,故选AB.]3.已知数列{an},an=an+2m(a<0,n∈N+),满足a1=2,a2=4,则m=________,a3=________. 2 [∴a2-a=2,∴a=2或-1,又a<0,∴a=-1.又a+2m=2,∴m=,∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.]4.如图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中共有化学键________个.5n+1 [各图中的化学键个数依次是6,6+5,6+5+5,….若把6看成是1+5,则上述数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图有化学键5n+1个.]已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=n2+1(n∈N*).(1)0.98是不是数列{an}中的一项?(2)判断数列{an}的单调性,并求最小项;(3)若cn=lgan+lgbn(n∈N*),求满足cn>3最小的n的值.[解] (1)假设0.98是数列{an}中的一项,则有=0.98,5 解得n2=49,所以n=7,因此,a7=0.98,即0.98是数列{an}中的第七项.(2)an==1-,对任意n∈N*,an+1-an=-+=>0,所以数列{an}是单调递增数列,最小项是第一项,a1=.(3)cn=lgan+lgbn=lg+lg(n2+1)=lgn2,令cn>3得lgn2>3,即n2>103,因为312=961,322=1024,且n∈N*,∴满足cn>3最小的n的值为32.5 查看更多

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