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新人教A版高中数学必修第一册模块检测试卷(附解析)

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资料简介

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={-1,1,2},集合N={y|y=x2,x∈M},则M∩N=(  )A.{1,2,4}  B.{1}   C.{1,2}   D.{4}解析:选B ∵M={-1,1,2},x∈M,∴x=-1或1或2.由y=x2得y=1或4,∴N={1,4}.∴M∩N={1}.2.已知函数f(x)=如果f(f(-1))=18,那么实数a的值是(  )A.0B.1C.2D.3解析:选C ∵函数f(x)=∴f(-1)=3+1=4,f(f(-1))=f(4)=4a+2=18,解得a=2.3.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s=3sin,那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和完成一次完整的摆动所需的时间(秒)分别为(  )A.3,4B.-3,4C.3,2D.-3,2解析:选A 振幅是3,T===4.4.若“p:x>a”是“q:x>1或x<-3”的充分不必要条件,则a的取值范围是(  )A.a≥1B.a>1C.a≥-3D.a≤-3解析:选A p是q的充分不必要条件,则p⇒q且q⇒/p.设A={x|x>a},B={x|x>1或x<-3},则A⊆B,但B⃘A.如数轴,易知a≥1.故选A.5.如果关于x的不等式x2<ax+b的解集是{x|1<x<3},那么ba等于(  )A.-81B.81C.-64D.64解析:选B 因为不等式x2<ax+b可化为x2-ax-b<0,其解集是{x|1<x<3},所以x=1和x=3是关于x的一元二次方程x2-ax-b=0的两个实数根,11 所以由一元二次方程根与系数的关系,得解得所以ba=(-3)4=81.故选B.6.已知α为锐角,且满足cos2α=sinα,则α等于(  )A.30°或60°B.45°C.60°D.30°解析:选D 因为cos2α=1-2sin2α,故由题意,知2sin2α+sinα-1=0,即(sinα+1)(2sinα-1)=0.因为α为锐角,所以sinα=,所以α=30°.7.若=2,则tan=(  )A.-B.C.D.-解析:选A 因为=2,所以=2,即==2,所以tanα=,所以tan2α===,所以tan===-,故选A.8.设函数f(x)=且方程f(x)-k+1=0有三个不相等的实根,则k的取值范围为(  )A.(-1,0)B.(0,1)C.[-1,0]D.[0,1]解析:选B f(x)=的图象如下:方程f(x)-k+1=0有三个不相等的实根等价于函数y=f(x)的图象与y=k11 -1的图象有三个交点,所以-1<k-1<0,即0<k<1.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知全集U=R,函数y=ln(1-x)的定义域为M,集合N={x|x2-x<0},则下列结论正确的是(  )A.M∩N=NB.M∩(∁UN)≠∅C.M∪N=UD.M⊆(∁UN)解析:选AB 由题意知M={x|x<1},N={x|0<x<1},∴M∩N=N.又∁UN={x|x≤0或x≥1},∴M∩(∁UN)={x|x≤0}≠∅,M∪N={x|x<1}=M,M⃘(∁UN),故选A、B.10.下列命题是真命题的是(  )A.若幂函数f(x)=xα的图象过点,则α=-B.∃x∈(0,1),>logxC.∀x∈(0,+∞),logx>logxD.命题“∃x∈R,sinx+cosx<1”的否定是“∀x∈R,sinx+cosx≥1”解析:选BD 选项A中,4=⇒2-α=22⇒α=-2,A错误;选项B中,在同一平面直角坐标系中作出y=与y=logx的图象,设两图象交点的横坐标为x0,则当x0<x<1时,>logx,B正确;选项C中,取x=2,log2=-1,log2=-log32>-1,C错误;选项D显然正确.故选B、D.11.已知函数f(x)=sin(x∈R),下列说法正确的是(  )A.函数f(x)的最小正周期是πB.函数f(x)是偶函数11 C.函数f(x)的图象关于点中心对称D.函数f(x)在上是增函数解析:选ABC 因为f(x)=sin=-sin=cos2x,所以函数f(x)是偶函数,且最小正周期T==π,故A、B正确;由2x=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=0时,x=,所以函数f(x)的图象关于点中心对称,故C正确;当x∈时,2x∈[0,π],所以函数f(x)在上是减函数,故D不正确.故选A、B、C.12.若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:①∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;②∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0.则以下四个函数中不是“优美函数”的是(  )A.f(x)=sinxB.f(x)=-2x3C.f(x)=1-xD.f(x)=ln(+x)解析:选ACD 由条件①,得f(x)是奇函数,由条件②,得f(x)是R上的减函数.对于A,f(x)=sinx在R上不单调,故不是“优美函数”;对于B,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是“优美函数”;对于C,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”;对于D,易知f(x)在R上单调递增,故不是“优美函数”.故选A、C、D.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.一批救灾物资由51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速送达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于km,那么这批物资全部到达灾区,最少需要________h.解析:当最后一辆汽车出发时,第一辆汽车走了=h,最后一辆汽车走完全程共需要h,所以一共需要h,结合基本不等式计算最值,可得+≥2=10,故最小值为10h.答案:1011 14.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=________.解析:∵当x>0时,f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,∴当x>0时,f(x)=2x,∴当x>0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数,∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.答案:-1115.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=logx,y=x,y=的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为________.解析:由图象可知,点A(xA,2)在函数y=logx的图象上,所以2=logxA,xA==.点B(xB,2)在函数y=x的图象上,所以2=(xB),xB=4.所以点C(4,yC)在函数y=的图象上,所以yC==.又xD=xA=,yD=yC=,所以点D的坐标为.答案:16.已知函数f(x)=sin+,ω>0,x∈R,且f(α)=-,f(β)=.若|α-β|的最小值为,则f=________.函数f(x)的单调递增区间为________.解析:函数f(x)=sin+,ω>0,x∈R,由f(α)=-,f(β)=,且|α-β|的最小值为,11 得=,即T=3π=,所以ω=.所以f(x)=sin+.则f=sin+=.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.答案: ,k∈Z四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知p:<1,q:x2-3ax+2a2<0(其中a为常数,且a>0),(1)若p为真,求x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.解:(1)由<1,得x>1或x<0,即命题p是真命题时x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).(2)由x2-3ax+2a2<0得(x-a)(x-2a)<0,因为a>0,则a<x<2a,若p是q的必要不充分条件,则q对应的集合是p对应集合的真子集,因为a>0,则满足得a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).18.(本小题满分12分)已知α,β为锐角,cosα=,cos(α+β)=-.(1)求sin2α的值;(2)求cosβ的值.11 解:(1)已知α为锐角,cosα=,所以sinα=,则sin2α=2sinαcosα=2××=.(2)由于α,β为锐角,则0<α+β<π,又cos(α+β)=-⇒sin(α+β)=,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1+.(1)用分段函数的形式表示函数f(x);(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g(x)=(x>0)的图象,观察图象,写出当x>0时,不等式f(x)>的解集.解:(1)当x≥0时,f(x)=1+=1;当x<0时,f(x)=1+=x+1.所以f(x)=(2)函数f(x)的图象如图所示.(3)函数g(x)=(x>0)的图象如图所示,当f(x)>时,f(x)的图象在g(x)的图象的上方,所以由图象可知f(x)>的解集是{x|x>1}.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x是定义在(0,+∞)上的函数.11 (1)用定义法证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;(2)若关于x的不等式f<0恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)证明:任取0<x1<x2,∴f(x1)-f(x2)=-=+(x2-x1)=+(x2-x1)=(x2-x1).∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,+1>0,即f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2).故f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)∵函数f(x)在其定义域内是减函数,且f(1)=0,∴当x∈(0,+∞)时,原不等式恒成立等价于f<f(1)恒成立,即>1恒成立,即m>-x2-x.∵当x∈(0,+∞)时,-x2-x=-+<0,∴m≥0,即实数m的取值范围是[0,+∞).21.(本小题满分12分)从①函数f为奇函数;②当x=时,f(x)=;③是函数f(x)的一个零点,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π,________.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解:∵函数f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π,11 ∴T==2π,∴ω=1,∴f(x)=2sin(x+φ).选条件①:(1)∵f=2sin为奇函数,∴φ-=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z.∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin.(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,∴令k=0,得-≤x≤,令k=1,得≤x≤.∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,.选条件②:(1)∵f=2sin=,∴sin=,∴+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ<,11 ∴φ=,∴f(x)=2sin.(2)同条件①.选条件③:(1)∵是函数f(x)的一个零点,∴f=2sin=0,∴+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z.∴0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin.(2)同条件①.22.(本小题满分12分)某人开网店创业专卖某种文具,他将这种文具以每件2元的价格售出,开始第一个月就达到1万件,此后每个月都比前一个月多售出1.5万件,持续至第10个月,在第11个月出现下降,第11个月出售了13万件,第12个月出售了9万件,第13个月出售了7万件,另据观察,第18个月销量仍比上个月低,而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比,第4个月成本为8000元,但第11个月起每月成本固定为3万元,现打算用函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)或f(x)=kmx+n(k≠0,m>0,m≠1)来模拟销量下降期间的月销量.(1)请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理,并写出前20个月销量与月份x之间的函数关系式;(2)前20个月内,该网店取得的月利润最高是多少,出现在哪个月?解:(1)假设从第11个月开始,月销量符合f(x)=ax2+bx+c的变化趋势,则(11,13),(12,9),(13,7)均在f(x)上,即解得所以f(x)=x2-27x+189,对称轴为x=,当x≥14时,不符合题意,故此模型舍去;11 假设从第11个月开始,月销量符合f(x)=kmx+n的变化趋势,则(11,13),(12,9),(13,7)均在f(x)上,即解得所以f(x)=214-x+5,当x=17时,f(17)=214-17+5=,f(18)=214-18+5=,f(18)<f(17),故f(x)=kmx+n更合理,此时f(x)=214-x+5,x≥11;由题知前10个月符合一次函数模型,设f(x)=1.5x+b,将(1,1)代入,解得b=-0.5,则f(x)=1.5x-0.5,1≤x≤10,故f(x)=x∈N+.(2)设前10个月成本(万元)与月份的关系为h(x)=nx2,将(4,0.8)代入解得n=,则h(x)=,前10个月利润可表示为w(x)=f(x)-h(x)=2(1.5x-0.5)-=-(x-30)2+44,当x=10时取到最大值,w(x)max=24;当x≥11时,f(x)=214-x+5单调递减,第11个月利润有最大值,w(x)max=13×2-3=23;故月利润最高记录为24万元,出现在第10个月.11 查看更多

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