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56函数y=Asinωx+φ的图象及变换课时检测(附解析新人教A版必修第一册)

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函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换[A级 基础巩固]1.若函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象,则(  )A.f(x)=cos2x     B.f(x)=sin2xC.f(x)=-cos2xD.f(x)=-sin2x解析:选A 依题意得f(x)=sin=sin=cos2x.故选A.2.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cosωx,则ω的值为(  )A.2B.C.4D.解析:选B 由题意可知得到图象的解析式为y=cosx,所以ω=.3.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再将所得函数的图象向左平移个单位长度,则最终所得函数图象对应的解析式为(  )A.y=cosx      B.y=sin2xC.y=sinxD.y=cos2x解析:选D 函数y=sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象,再将所得函数的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin=cos2x的图象.4.(2021·北京一零一中学高一月考)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数f(x)的图象,只需将函数g(x)=sinωx的图象(  )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度7 C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析:选A 由f(x)的最小正周期是π,得ω=2,即f(x)=sin=sin,因此它的图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度得到.故选A.5.如果两个函数的图象经过平移后能够重合,那么这两个函数称为“和谐”函数.下列函数中与g(x)=sin能构成“和谐”函数的是(  )A.f(x)=sinB.f(x)=2sinC.f(x)=sinD.f(x)=sin+2解析:选D 将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度,即得到函数f(x)=sin+2的图象,故选D.6.将y=sin2x的图象向左平移个单位长度,得到的曲线对应的解析式为________.解析:y=sin2xy=sin2.答案:y=sin7.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍,将会得到函数y=3sin的图象.解析:A=3>1,故将函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的3倍,即可得到函数y=3sin的图象.答案:伸长 37 8.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为y=g(x).若g=,则f的值为________.解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2,∴f(x)=Asin2x.将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x)=Asinx.∵g=,∴g=Asin=A=,∴A=2,∴f(x)=2sin2x.∴f=2sin=2sin=2×=.答案:9.已知函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位,这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同,求函数y=f(x)的解析式.解:y=2sinx的图象即f(x)=-cos2x.10.用“五点法”作出函数y=2sin+3的图象,并指出它的最小正周期、最值及单调区间.解:①列表如下:xππππx-0ππ2πy353137 ②描点.③连线成图,将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y=2sin+3的图象.如图所示.函数的最小正周期T=2π,最大值为5,最小值为1,函数的减区间为,k∈Z,增区间为,k∈Z.[B级 综合运用]11.为了得到函数g(x)=cos的图象,只需将函数f(x)=sin图象上所有的点(  )A.横坐标缩短到原来的B.横坐标伸长到原来的倍C.横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度解析:选A 由题可得f(x)=sin=sin=cos,故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的,即可得到函数g(x)=cos的图象.故选A.12.(多选)已知曲线C1:y=2sinx,C2:y=2sin,则下列结论正确的是(  )A.把C1上所有的点向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到曲线C27 B.把C1上所有的点向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,得到曲线C2解析:选BD 先平移变换后伸缩变换:先把C1上所有的点向左平移个单位长度,得到y=2sin的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线C2,B选项正确.先伸缩变换后平移变换:C2:y=2sin,所以先将C1上各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,即可得到C2,D选项正确.13.给出下列六种图象变换的方法:①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的;②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;③图象向右平移个单位长度;④图象向左平移个单位长度;⑤图象向右平移个单位长度;⑥图象向左平移个单位长度.请用上述变换中的两种变换,将函数y=sinx的图象变换为函数y=sin的图象,那么这两种变换正确的序号是________.(按变换先后顺序填上一种你认为正确的序号即可)解析:y=sinx的图象y=sin的图象y=sin7 的图象,或y=sinx的图象y=sin的图象y=sin=sin的图象.答案:④②或②⑥14.已知函数f(x)=sin.(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图;(2)试问f(x)是由g(x)=sinx经过怎样变换得到?解:(1)列表如下:2x-0π2πxf(x)010-10描点连线,图象如图所示.(2)先将g(x)向右平移个单位长度,再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),即可得到f(x)的图象.[C级 拓展探究]15.已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω>0.(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.解:(1)因为ω>0,根据题意有⇒0<ω≤.所以ω的取值范围是.7 (2)由f(x)=2sin2x可得,g(x)=2sin+1=2sin+1,g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相离间隔依次为和,故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.7 查看更多

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