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正切函数的性质与图象[A级 基础巩固]1．函数y＝|tanx|的图象与直线y＝1的两个相邻交点之间的距离是( )A. B. C. D．π解析：选C 因为函数y＝|tanx|的最小正周期为π，且由|tanx|＝1可得x＝kπ±(k∈Z)，所以函数y＝|tanx|的图象与直线y＝1的两个相邻交点之间的距离为函数y＝|tanx|的半个周期，即.2．已知函数f(x)＝tanωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝( )A.B.C.D.解析：选A 因为x∈，且0<ω<1，所以0≤ωx≤<，所以f(x)max＝tan＝＝tan，所以＝，解得ω＝.3．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )A.，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析：选C 由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，6
故f(x)的单调递增区间是，k∈Z.4．已知x∈[0，2π]，则函数y＝＋的定义域为( )A.B.C.D.解析：选C 由题意知∴函数的定义域为，故选C.5．下列图形分别是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )A．①②③④B．①③④②C．③②④①D．①②④③解析：选D y＝tan(－x)＝－tanx在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.故选D.6．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________．解析：因为是函数f(x)的图象的一个对称中心，所以＋φ＝，k∈Z，所以φ＝－，k∈Z，由于|φ|<，故取k＝0或k＝1，得φ＝－或φ＝.答案：－或7．比较大小：tan________tan.6
解析：tan＝tan，且0<<<，又y＝tanx在上单调递增，所以tan<tan，即tan<tan.答案：<8．函数y＝tan，x∈的值域是________．解：y＝tan＝－tan.∵x∈，∴2x－∈，∴0≤tan≤，∴－≤tan≤0.故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0]．答案：[－，0]9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝xtan2x＋x4.解：(1)由得x≠kπ＋且x≠kπ＋(k∈Z)．即定义域为，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数定义域为，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)tan[2(－x)]＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，所以函数是偶函数．10．设函数f(x)＝tan.(1)求函数的定义域；6
(2)求不等式f(x)≤的解集．解：(1)根据函数f(x)＝tan，可得－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z.故函数的定义域为.(2)不等式f(x)≤，即tan≤，所以kπ－<－≤kπ＋，k∈Z，求得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z.故不等式的解集为，k∈Z.[B级 综合运用]11．(多选)函数y＝tan的性质有( )A．在上单调递增B．为奇函数C．以π为最小正周期D．定义域为解析：选AB 令x∈，则∈，所以y＝tan在上单调递增，所以A正确；tan＝－tan，故y＝tan为奇函数，所以B正确；T＝＝2π，所以C不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确．12．已知函数f(x)＝asinx＋btanx－1(a，b∈R)，若f(－2)＝2020，则f(2)＝( )A．2021B．－2022C．2022D．－2021解析：选B 根据题意，函数f(x)＝asinx＋btanx－1，设g(x)＝f(x)＋1＝asinx＋6
btanx，则g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asinx＋btanx)＝－g(x)，则函数g(x)为奇函数，则g(2)＋g(－2)＝f(2)＋1＋f(－2)＋1＝0，又由f(－2)＝2020，得f(2)＝－2022.13．已知函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f＝________．解析：由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f(x)＝tan4x，所以f＝tanπ＝0.答案：014．(2021·浙江衢州五校高一检测)已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.(1)当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)若函数g(x)＝为奇函数，求θ的值；(3)求使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围．解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝－.∵x∈[－1，]，且f(x)的图象开口向上，∴当x＝时，f(x)min＝－；当x＝－1时，f(x)max＝.(2)由题可知g(x)＝x－＋2tanθ，∵g(x)为奇函数，∴0＝g(－x)＋g(x)＝－x＋＋2tanθ＋x－＋2tanθ＝4tanθ，∴tanθ＝0，∴θ＝kπ，k∈Z.(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－tanθ.6
∵f(x)在区间[－1，]上是单调函数，∴－tanθ≥或－tanθ≤－1，即tanθ≤－或tanθ≥1，∴－＋kπ<θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ<＋kπ，k∈Z，故θ的取值范围是∪，k∈Z.[C级 拓展探究]15．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间．解：根据题意，可得：解得故f(x)＝sin，g(x)＝tan.当kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递增．即－<x<＋(k∈Z)时，函数g(x)单调递增．所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．6
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