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47正余弦函数的单调性与最值课时检测(附解析新人教A版必修第一册)

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正、余弦函数的单调性与最值[A级 基础巩固]1.函数y=sin,x∈R在(  )A.上是增函数B.[0,π]上是减函数C.[-π,0]上是减函数D.[-π,π]上是减函数解析:选B 因为y=sin=cosx,所以在区间[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.2.(2021·福建八县(市)高一联考)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是(  )A. B.(0,2]  C. D.解析:选C ∵函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,∴周期T=≥π,解得0<ω≤2.∵f(x)=sin的单调递减区间满足+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,∴存在k∈Z,使+≤,+≥π均成立.此时+4k≤ω≤+2k,k∈Z,∴≤ω≤,即ω的取值范围是,故选C.3.(多选)对于函数f(x)=sin2x,下列选项中正确的是(  )A.f(x)在上是递减的B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)的最大值为2解析:选AB 因为函数y=sinx在上是单调递减的,所以f(x)=sin2x在6 上是单调递减的,故A正确;因为f(-x)=sin2(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故B正确;f(x)的最小正周期为π,故C错误;f(x)的最大值为1,故D错误.4.下列结论正确的是(  )A.sin400°>sin50°B.sin220°<sin310°C.cos130°>cos200°D.cos(-40°)<cos310°解析:选C 由cos130°=cos(180°-50°)=-cos50°,cos200°=cos(180°+20°)=-cos20°,因为当x∈(0°,90°)时,函数y=cosx是减函数,所以cos50°<cos20°,所以-cos50°>-cos20°,即cos130°>cos200°.5.函数y=sin2x+sinx-1的值域为(  )A.[-1,1]B.C.D.解析:选C y=sin2x+sinx-1=-,当sinx=-时,ymin=-;当sinx=1时,ymax=1.即y∈.6.函数y=sin(x+π)在上的单调递增区间为________.解析:因为sin(x+π)=-sinx,所以要求y=sin(x+π)在上的单调递增区间,即求y=sinx在上的单调递减区间,易知为.答案:7.函数y=|sinx|+sinx的值域为________.解析:∵y=|sinx|+sinx=又∵-1≤sinx≤1,∴y∈[0,2],即函数的值域为[0,2].答案:[0,2]8.若函数f(x)=2sin在和[3m,π]上均单调递增,则实数m的取值范围为________.6 解析:由f(x)=2sin知,当x∈[0,π]时,f(x)在和上单调递增,∵函数f(x)在和[3m,π]上均单调递增,∴解得≤m≤,∴实数m的取值范围为.答案:9.比较下列各组数的大小:(1)sin与sin;(2)cos与cos.解:(1)∵函数y=sinx在上单调递减,且<<<π,∴sin>sin.(2)cos=cos=cos,cos=cos=cos.∵函数y=cosx在上单调递减,且0<<<,∴cos>cos,即cos>cos.10.求函数y=3-4cos,x∈的最大值、最小值及相应的x的值.解:因为x∈,所以2x+∈,从而-≤cos≤1.6 所以当cos=1,即2x+=0,x=-时,ymin=3-4=-1.当cos=-,即2x+=,x=时,ymax=3-4×=5.综上所述,当x=-时,ymin=-1;当x=时,ymax=5.[B级 综合运用]11.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin有(  )A.最大值1,最小值-1  B.最大值1,最小值-C.最大值2,最小值-2D.最大值2,最小值-1解析:选D 因为-≤x≤,所以-≤x+≤,所以-≤sin≤1,所以-1≤f(x)≤2.12.(多选)对于函数f(x)=下列说法中不正确的是(  )A.该函数的值域是[-1,1]B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0解析:选ABC 画出函数f(x)的图象(图略),由图象容易看出:该函数的值域是;当且仅当x=2kπ+或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)<0,可知A、B、C不正确.13.若函数y=a-bcosx(b>0)的最大值为,最小值为-,则a=________,函数y6 =-4acosbx的最大值为________.解析:∵y=a-bcosx(b>0),∴ymax=a+b=,ymin=a-b=-.由解得∴y=-4acosbx=-2cosx,∴函数y=-4acosbx的最大值为2.答案: 214.已知函数f(x)=2sin(2x+φ),且f(x)的图象过点(0,1).(1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值;(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合;(3)求函数f(x)的单调增区间.解:(1)函数f(x)的最小正周期为T==π.因为f(x)的图象过点(0,1),所以f(0)=2sinφ=1,即sinφ=.又-<φ<,所以φ=.(2)由(1)知,f(x)=2sin,所以函数f(x)的最大值是2.令2x+=+2kπ(k∈Z),得x=+kπ(k∈Z).所以f(x)取得最大值时,x的取值集合是.(3)由(1)知,f(x)=2sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).6 [C级 拓展探究]15.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,且|φ|<π.(1)若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),求φ的值;(2)在(1)的基础上,探究f(x)的单调递增区间;(3)我们知道正弦函数是奇函数,f(x)=sin(2x+φ)是奇函数吗?若它是奇函数,探究φ满足的条件;存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数吗?若存在,写出φ满足的条件.(只写结论,不写推理过程)解:(1)由f(x)≤对x∈R恒成立知2·+φ=2kπ±(k∈Z),∴φ=2kπ+或φ=2kπ-(k∈Z).∵|φ|<π,∴φ=或φ=-,又∵f>f(π),∴φ=-.(2)由(1)知f(x)=sin.令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z).得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(3)f(x)=sin(2x+φ)不一定是奇函数,若f(x)=sin(2x+φ)是奇函数,则φ=kπ(k∈Z).存在φ使f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,此时φ=kπ+(k∈Z).6 查看更多

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