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诱导公式五、六[A级 基础巩固]1．(多选)已知f(x)＝sinx，下列式子中不成立的是( )A．f(x＋π)＝sinx B．f(2π－x)＝sinxC．f＝－cosxD．f(π－x)＝－f(x)解析：选ABD f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sinx，f(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sinx，f＝sin＝－sin＝－cosx，f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx＝f(x)．故A、B、D不成立．2．已知sin＝，那么cosα等于( )A．－ B．－C.D.解析：选C sin＝sin＝sin＝cosα＝.3．已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos＝( )A．－B．－C.D.解析：选C ∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)．又∵α是第四象限角，∴sinα＝－，∴cos＝cos6
＝cos＝－sinα＝.4．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝－sinCC．cos＝sinBD．sin＝cos解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，故A、B错．∵A＋C＝π－B，∴＝，∴cos＝cos＝sin，故C错．∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．5．已知sin＝－，则cos＝( )A.B．－C.D．－解析：选A sin＝sin＝－sin＝－，所以sin＝.故cos＝cos＝sin＝.故选A.6．已知α∈，cos＝，则tan(2020π－α)＝________．解析：由cos＝得sinα＝－，又0<α<，所以π<α<，所以cosα＝－＝－，tanα＝.所以tan(2020π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－.答案：－6
7．sin2＋sin2＝________．解析：sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.答案：18．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝·(－sinα)·cos(－α)＝·(－sinα)·cosα＝·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α9．在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m，n)，且cos＝，α∈，求m的值．解：cos＝cos＝－sinα＝，即sinα＝－.又因为角α的终边与单位圆交于点P(m，n)，所以解得或因为α∈，所以角α的终边在第三象限，故m＝－.10．化简：(1)＋；(2)＋.解：(1)∵sin＝cosα，cos＝sinα，cos(π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα，6
cos＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα，∴原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.(2)∵tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，sin＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα，cos＝cos＝cos＝cos＝－sinα，sin＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，∴原式＝＋＝－＝＝＝1.[B级 综合运用]11．如果f(sinx)＝cos2x，那么f(cosx)的值为( )A．－sin2x B．sin2xC．－cos2xD．cos2x解析：选C f(cosx)＝f＝cos2＝cos(π－2x)＝－cos2x.12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P为其终边上一点，则sin＝( )A．－B．－C.D.解析：选A 因为P在角α的终边上，6
所以x＝－，y＝，从而求得r＝1，所以cosα＝－，故sin＝cosα＝－，故选A.13．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.答案：14．已知A，B，C为△ABC的内角．(1)求证：cos2＋cos2＝1；(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．证明：(1)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，∴＝－，∴cos＝cos＝sin，∴cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.(2)∵cossintan(C－π)＜0，∴－sinA·(－cosB)·tanC＜0，即sinAcosBtanC＜0.又A，B，C∈(0，π)，∴sinA＞0，∴cosBtanC＜0，即cosB＜0，tanC＞0或tanC＜0，cosB＞0，∴B为钝角或C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．[C级 拓展探究]15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件，6
则由题可得①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴cos2α＝，∴cosα＝±.∵α∈，∴cosα＝.由cosα＝，cosα＝cosβ，得cosβ＝.∵β∈(0，π)，∴β＝.∴sinβ＝，结合①可知sinα＝，则α＝.故存在α＝，β＝满足条件．6
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