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35对数函数的图象和性质的应用习题课课时检测(附解析新人教A版必修第一册)

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对数函数的图象和性质的应用(习题课)[A级 基础巩固]1.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是(  )A.0<k<1      B.0≤k<1C.k≤0或k≥1D.k=0或k≥1解析:选C 令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,得函数t=x2-2kx+k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.2.(多选)设集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},则下列关系中不正确的有(  )A.A∪B=BB.A∩B=∅C.A=BD.A⊆B解析:选BC 由题意知集合A={x|x>0},B={y|y∈R},所以A⊆B.3.已知函数f(x)=lg(x2+1),则(  )A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)是R上的增函数D.f(x)是R上的减函数解析:选A 因为f(-x)=lg[(-x)2+1]=lg(x2+1)=f(x),且定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数.故选A.4.(2021·浙江杭州西湖区高一月考)若定义运算f(a⊗b)=则函数f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是(  )A.(-1,1)B.[0,1)C.[0,+∞)D.[0,1]解析:选B ∵f(a⊗b)=∴y=f(log2(1+x)⊗log2(1-x))=当0≤x<1时,函数y=log2(1+x),因为y=log2(1+x)在[0,1)上为增函数,所以y∈[0,1).当-1<x<0时,函数y=log2(1-x),因为y=log2(1-x)在(-1,0)上为减函数,所以y∈(0,1).综上可得y∈[0,1),所以函数f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域为[0,1),故选B.6 5.函数f(x)=|logx|的单调递增区间是(  )A.B.(0,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析:选D f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).6.如果函数f(x)=(3-a)x与g(x)=logax的增减性相同,则实数a的取值范围是________.解析:若f(x),g(x)均为增函数,则即1<a<2;若f(x),g(x)均为减函数,则无解,故1<a<2.答案:(1,2)7.函数y=log0.3(3-2x)在其定义域内是________函数(填“增”或“减”).解析:由3-2x>0,解得x<.设t=3-2x,x∈.因为函数y=log0.3t是减函数,且函数t=3-2x是减函数,所以函数y=log0.3(3-2x)在上是增函数.答案:增8.已知函数f(x)=|lgx|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是________.解析:由f(x)的图象可知,0<a<1<b,又f(a)=f(b),因此|lga|=|lgb|,于是lga=-lgb,则b=,所以a+2b=a+,设g(a)=a+(0<a<1).6 因为g(a)在(0,1)上为减函数,所以g(a)>g(1)=3,即a+>3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞).答案:(3,+∞)9.设函数f(x)=lg(a∈R),且f(1)=0.(1)求a的值;(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明.解:(1)函数f(x)=lg(a∈R),且f(1)=0,则f(1)=lg=0.则=1,解得a=2.(2)f(x)=lg在区间(0,+∞)上单调递减.证明:设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=lg-lg=lg=lg(x2+1)-lg(x1+1),因为0<x1<x2,所以lg(x2+1)>lg(x1+1),即f(x1)>f(x2),即函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.10.已知函数f(x)=log2x.(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;(2)求y=log2(2x-1)在x∈[2,14]上的最值.解:函数f(x)=log2x的图象如图所示.(1)∵f(x)=log2x为增函数,f(a)>f(2),∴log2a>log22.∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).(2)∵2≤x≤14,∴3≤2x-1≤27.∴log23≤log2(2x-1)≤log227.∴函数f(x)=log2(2x-1)在x∈[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.[B级 综合运用]11.若函数f(x)=对任意x1≠x2,都有6 <0,则实数a的取值范围是(  )A.(0,1)B.C.D.解析:选D 由条件知,分段函数f(x)在R上单调递减,则所以所以≤a<,故选D.12.(多选)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是(  )A.f(4)=-3B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=f(x)的最小值为-4D.函数y=f(x)的最大值为4解析:选ABC A正确,f(4)=(log24)2-log242-3=-3;B正确,令f(x)=0,得(log2x+1)(log2x-3)=0,解得x=或x=8,即f(x)的图象与x轴有两个交点;C正确,因为f(x)=(log2x-1)2-4(x>0),所以当log2x=1,即x=2时,f(x)取最小值-4;D错误,f(x)没有最大值.13.已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是________.解析:令u=2-ax,则y=logau,因为a>0,所以u=2-ax递减,由题意知y=logau在[0,1]内递增,所以a>1.又u=2-ax在x∈[0,1]上恒大于0,所以2-a>0,即a<2,综上,1<a<2.答案:(1,2)14.已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值;(2)解不等式log(x-1)>log(a-x);(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.6 解:(1)∵loga3>loga2,∴a>1,∴y=logax在[a,2a]上为增函数,∴loga(2a)-logaa=loga2=1,∴a=2.(2)依题意可知解得1<x<,∴不等式的解集为.(3)g(x)=|log2x-1|,∴当x=2时,g(x)=0,则g(x)=∴函数g(x)在(0,2]上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,∴g(x)的单调递减区间为(0,2],单调递增区间为(2,+∞).[C级 拓展探究]15.某学校为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能力,他们以函数f(x)=lg为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究成果如下:①同学甲发现:函数f(x)的定义域为(-1,1);②同学乙发现:函数f(x)是偶函数;③同学丙发现:对于任意的x∈(-1,1)都有f=2f(x);④同学丁发现:对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=f;⑤同学戊发现:对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0.其中所有正确研究成果的序号是__________.解析:在①中,因为f(x)=lg,所以>0,解得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的;在②中,f(x)=lg=-lg=-f(-x),所以函数f(x)为奇函数,所以②是错误的;在③中,对于任意x∈(-1,1),有f=lg=lg=lg,又2f(x)=2lg=lg,所以③是正确的;在④中,6 对于任意的a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg+lg=lg=lg,又f=lg=lg,所以④是正确的;在⑤中,对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0,即说明f(x)是单调递增函数,但f(x)=lg=lg是减函数,所以⑤是错误的.综上可知,正确研究成果的序号为①③④.答案:①③④6 查看更多

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