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基本不等式的应用(习题课)[A级 基础巩固]1．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )A. B．a2＋b2C．2abD．a解析：选B 法一：因为0＜a＜b，所以1＝a＋b＞2a，所以a＜.又因为a2＋b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1＝a＋b＞2，所以ab＜，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞，故选B.法二(特值检验法)：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝.因为＞＞＞，所以a2＋b2最大，故选B.2．若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是( )A．b＞＞a＞B．b＞＞＞aC．b＞＞＞aD．b＞a＞＞解析：选C ∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞＞.∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴＞a.故b＞＞＞a.3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥解析：选B 由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤，所以1＋x≤1＋，故x≤.7
4．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为xm，ym，则xy＝1，即xy＝2.周长l＝x＋y＋≥2＋＝2＋2≈4.83(m)，当且仅当x＝y时等号成立．结合实际问题，可知选C.5．(多选)若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.＞B.＋≥1C.≤2D.≥1解析：选BC 若x＞0，y＞0，由x＋y＝4，得＝，故A错误；＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故B正确；∵x＞0，y＞0，x＋y＝4，且x＋y≥2，∴≤2，故C正确；∵≤2，∴xy≤4，∴≥，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故D错误．6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．答案：≤7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．解析：C＝＝.因为t＞0，所以t＋≥2＝4.7
所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，C取得最大值．答案：28．某公司租地建仓库，每月租地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．若在距离车站10km处建仓库，则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元．那么要使每月的两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处．解析：设仓库建在离车站xkm处，每月租地费用y1＝(k1≠0)，每月运输费用y2＝k2x(k2≠0)．把x＝10，y1＝2代入y1＝，得k1＝20；把x＝10，y2＝8代入y2＝k2x，得k2＝，故每月两项费用之和y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．答案：59．已知a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，三个不等式左、右两边分别相加，得2≥2(＋＋)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．又因为a，b，c不全相等，所以＋＋<＋＋.10．2020年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，7
迅速启动“方舱医院”建设．某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？解：(1)设正面复合板长为xm，侧面长为ym，总造价为z元，则方舱医院的面积S＝xy，总造价z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy.由条件知z≤188000，即4x＋9y＋2xy≤18800.∵x＞0，y＞0，∴y≤.令t＝9＋2x，则x＝(t＞9)，∴S＝xy≤·＝＝－＋9418≤－2＋9418＝－2×3×97＋9418＝8836，当且仅当t＝，即t＝291时等号成立．故S的最大值为8836m2.(2)由(1)知，当S＝8836m2时，t＝291，t＝9＋2x，∴x＝141，则y＝＝.∴方舱医院的面积S达到最大值8836m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141m.[B级 综合运用]11．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是( )A．(1，4)B．(6，8)C．(7，12)D.解析：选AC 设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.对于A，(1，4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式得xy≤，符合题意；对于B，(6，8)，则x＋y7
＝4，xy＝6，根据基本不等式得xy≤，不符合题意；对于C，(7，12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式得xy≤，符合题意；对于D，，则x＋y＝，xy＝3，根据基本不等式得xy≤，不符合题意．故选A、C.12．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为( )A.≤(a＞0，b＞0)B.＜(a＞0，b＞0，a≠b)C.≤(a＞0，b＞0)D.＜＜(a＞0，b＞0，a≠b)解析：选D 由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝.∵DE＜DC＜DO，∴＜＜(a＞0，b＞0，a≠b)．故选D.13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.答案：414．(1)已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)；7
(2)若0＜x＜1，a＞0，b＞0，求证：＋≥(a＋b)2.证明：(1)∵≤，∴≥＝(a＋b)(当且仅当a＝b时，等号成立)．同理，≥(b＋c)(当且仅当b＝c时，等号成立)，≥(a＋c)(当且仅当a＝c时，等号成立)．三式相加得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．(2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0.又∵a＞0，b＞0，∴左边＝(x＋1－x)＝a2＋b2＋·b2＋·a2≥a2＋b2＋2＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝右边.故＋≥(a＋b)2.[C级 拓展探究]15．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8cm.(1)设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．解：(1)由题意可得AD＝(4－x)cm，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4.则CE＝AE＝x－DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，化简得DE＝4－(2＜x＜4)．(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8，7
当且仅当x＝2时取等号，此时4－x＝4－2，即队徽的长和宽分别为2cm，(4－2)cm时，△ADE的面积取得最大值．7
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