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全称量词命题和存在量词命题的否定[A级 基础巩固]1．对某次考试，有命题p：所有理科学生都会做第1题，那么命题p的否定是( )A．所有理科学生都不会做第1题B．存在一个理科学生不会做第1题C．存在一个理科学生会做第1题D．至少有一个理科学生会做第1题解析：选B 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，∴命题p：所有理科学生都会做第1题的否定是存在一个理科学生不会做第1题．故选B.2．(2021·安徽临泉第一中学高二月考)已知命题p：∀x∈{x|x>1}，x2＋16>8x，则命题p的否定为( )A．綈p：∀x∈{x|x>1}，x2＋16≤8xB．綈p：∀x∈{x|x>1}，x2＋16<8xC．綈p：∃x∈{x|x>1}，x2＋16≤8xD．綈p：∃x∈{x|x>1}，x2＋16<8x解析：选C 在綈p中，量词“∀”改为“∃”，结论“x2＋16>8x”改为“x2＋16≤8x”，故选C.3．下列命题的否定是真命题的是( )A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都相似D．3是方程x2－9＝0的一个根解析：选B A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题．B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题．C的否定：有些等边三角形不相似，假命题．D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题，故选B.4．下列命题的否定为假命题的是( )A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∃x∈R，x2＋3x＋2＝0解析：选D 命题的否定为假命题等价于原命题是真命题，由1＜4x＜3得＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题；5x＋1＝0，x＝－∉Z，故B为假命题，其否定为真命题；当x＝0时，x2－1≠0，故C为假命题，其否定为真命题；存在实数x＝－1或x＝－2，有x2＋3x＋2＝0，故D为真命题，从而D的否定是假命题．4
5．已知p：∀x∈R，2x2＋2x＋＜0，q：∃a∈R，函数y＝x2－x＋a的图象与x轴有交点，则下列判断正确的是( )A．p是真命题B．q是假命题C．p的否定是假命题D．q的否定是假命题解析：选D 在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故p为假命题，p的否定为真命题；在命题q中，当a＝0时，函数y＝x2－x的图象与x轴有交点，故q为真命题，q的否定是假命题．故选D.6．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则綈p：________．答案：∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或有两个解7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0.8．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为________，此命题的否定是________，是________命题(填“真”或“假”)．解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题．答案：∃x，y∈R，x＋y＞1 ∀x，y∈R，x＋y≤1 假9．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)每一个非负数的平方都是正数；(3)有的四边形没有外接圆．解：(1)存在一个末位数是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)所有的四边形都有外接圆，假命题．10．已知命题p：∃x∈R，|x|2－2|x|＋m＝0.若綈p是假命题，求实数m的取值范围．解：∵綈p是假命题，∴p是真命题．也就是∃x∈R，使得|x|2－2|x|＝－m，即方程|x|2－2|x|＝－m有解．又|x|2－2|x|＝(|x|－1)2－1≥－1，当x＝±1时等号成立，因此－m≥－1，即m≤1.∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．4
[B级 综合运用]11．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )A．{a|a<－1}B．{a|a≥1}C．{a|a>1}D．{a|a≤－1}解析：选B ∵p为假命题，∴綈p为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是a≥1，故选B.12．命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长．若命题p为假命题，则x的取值集合M＝________．解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命题p为假命题时，可得{x|x≤1或x≥7}．答案：{x|x≤1或x≥7}13．设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的x∈A，有x∉B；②对任意的x∈B，有x∉A；③存在x∈A，使得x∉B.上述三个命题的否定是真命题的序号是________．解析：根据题意可设A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A与B之间不存在包含关系．因为3∈A且3∈B，所以①②是假命题；因为1∈A且1∉B，所以③是真命题．综上可知，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题．答案：①②14．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0，命题q：∃x∈，x2－a≥0.若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．解：若命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0为真命题，则Δ＝22－4a≤0，∴a≥1.若命题q：∃x∈，x2－a≥0为真命题，则a≤x2，即a≤(x2)max，∴a≤，∴p，q均为假命题时，即，4
其补集为，∴p，q至少有一个为真命题时，实数a的取值范围为.[C级 拓展探究]15．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？并说明理由．解：两位同学题中实数m的取值范围是一致的．∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题．∴两位同学题中实数m的取值范围是一致的．4
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