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8全称量词与存在量词课时检测(附解析新人教A版必修第一册)

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全称量词与存在量词[A级 基础巩固]1.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(  )A.∃x>1,x2-2x-3=0B.若2x为偶数,则x∈NC.所有菱形的四条边都相等D.π是无理数解析:选C 对于A,是存在量词命题,故A不正确;对于B,是假命题,故B不正确;对于C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;对于D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确,故选C.2.设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则(  )A.∀x∈Q,有x∈P   B.∀x∉Q,有x∉PC.∃x∉Q,使得x∈PD.∃x∈P,使得x∉Q解析:选B ∵P∩Q=P,∴P⊆Q,如图,∴A错误;B正确;C错误;D错误.故选B.3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(  )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使>2解析:选B A是全称量词命题.B项为存在量词命题,当x=0时,x2=0成立,所以B正确.因为+(-)=0,所以C为假命题.对于任何一个负数x,都有<0,所以D错误.故选B.4.(多选)下列命题中是真命题的是(  )A.∀x∈R,2x2-3x+4>0B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0C.∃x∈N,使≤xD.不存在x∈N*,使x为29的约数4 解析:选AC ∀x∈R,2x2-3x+4>0,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,故A正确;∀x∈{1,-1,0},2x+1>0,若x=-1,则2x+1=-1<0,故B错误;∃x∈N,使≤x,取x=4∈N,有≤4成立,故C正确;1,29都是29的约数,故D错误.故选A、C.5.(多选)命题“∀1≤x≤3,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(  )A.a≥9B.a≥11C.a≥10D.a≤10解析:选BC 当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥(x2)max.因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,所以a≥9.因为a≥9⇒/a≥10,a≥10⇒a≥9,又a≥9⇒/a≥11,a≥11⇒a≥9,故选B、C.6.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________.解析:对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,∴a≤3.答案:{a|a≤3}7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________.解析:存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”.答案:∃x<0,(1+x)(1-9x)2>08.下列存在量词命题是真命题的序号是________.①有些不相似的三角形面积相等;②存在实数x,使x2+2<0;③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大;④有一个实数的倒数是它本身.解析:①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意x∈R,x2+2>0,所以不存在实数x,使x2+2<0,为假命题;③中当实数a大于0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题.故真命题的序号是①③④.答案:①③④9.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题:(1)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数;(2)对任意实数x,都有x3>x2;(3)某个四边形不是平行四边形.解:(1)∀x∈R,x·(-1)=-x.(2)∀x∈R,x3>x2.(3)∃x∈{x|x是四边形},x不是平行四边形.10.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假:4 (1)存在一个三角形没有外接圆;(2)∃x∈R,<0;(3)存在实数x,=-x.解:(1)存在一个三角形没有外接圆,是存在量词命题,命题为假命题.(2)存在量词命题.非负数有算术平方根,且仍为非负数,所以该命题为假命题.(3)存在量词命题.当x<0时,=-x,所以该命题为真命题.[B级 综合运用]11.下列说法正确的是(  )A.对所有的正实数t,有<tB.存在实数x,使x2-3x-4=0C.不存在实数x,使x<4且x2+5x-24=0D.任意实数x,使得|x+1|≤1且x2>4解析:选B t=时,>t,所以A选项错;由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x=-1或x=4时,x2-3x-4=0,故B选项正确;由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C选项错;x=0时,x2>4不成立,所以D选项错.12.已知“∀x∈{x|0≤x≤2},m>x”和“∃x∈{x|0≤x≤2},n>x”均为真命题,那么m,n的取值范围分别是(  )A.m>0,n>0B.m>0,n>2C.m>2,n>0D.m>2,n>2解析:选C 由“∀x∈{x|0≤x≤2},m>x”是真命题,可得m>2;由“∃x∈{x|0≤x≤2},n>x”是真命题,可得n>0.13.已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是________.解析:由p(1)是假命题,p(2)是真命题,得解得3≤m<8.答案:3≤m<814.设语句q(x):|x-1|=1-x.(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;(2)写出“∀a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题;(3)写出“∃a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题.解:(1)q(1):|1-1|=1-1,真命题.q(2):|2-1|=1-2,因为|2-1|=1,1-2=-1,所以|2-1|≠1-2,假命题.(2)∀a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(2)为假命题,所以“∀a∈R,|a-1|=1-a4 ”为假命题.(3)∃a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(1)为真命题,所以“∃a∈R,|a-1|=1-a”为真命题.[C级 拓展探究]15.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠∅.(1)若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围;(2)命题q:“∃x∈A,x∈B”是真命题,求m的取值范围.解:(1)由于命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,所以B⊆A,B≠∅,所以解得2≤m≤3.(2)q为真,则A∩B≠∅,因为B≠∅,所以m≥2.所以解得2≤m≤4.4 查看更多

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