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平面向量及其应用(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式恒成立的是( )A．＋＝0 B．－＝C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c解析：选D ＋＝0，故A错误；－＝，故B错误；(a·b)·c表示与c共线的向量，而a·(b·c)表示与a共线的向量，故C错误；根据平面向量数量积的运算性质可知D正确．故选D.2．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝( )A．－B.C．－2D．2解析：选C 因为a＝(1，2)，b＝(－2，3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.3．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于( )A．1B．2C.D.解析：选B ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B.4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，c＝2，cos＝，则b＝( )A．1B.C．2D．4解析：选D ∵a＝2，c＝2，cos＝，∴cosA＝2cos2－1＝2×－1＝，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(2)2＝b2＋22－2×b×2×，整理得b2－3b－4＝0，∴解得b＝4或－1(舍去)．故选D.5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，10
则·＝( )A．1B．2C．3D．4解析：选B 由已知得BC＝，∠BCD＝135°，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝××cos180°＋×1×cos135°＋2××cos45°＋2×1×cos0°＝2.6．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD(图略)，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C.7.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )A．2B．0C．－1D．－2解析：选D 由平行四边形法则得＋＝2，故(＋)·＝2·，||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2),则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(＋)·取得最小值，为－2，故选D.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )10
A.B.C.D.或解析：选D ∵sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，∴2sinBcosA＝6sinAcosA．当cosA＝0时，A＝，B＝.又c＝，所以b＝.由三角形的面积公式，得S＝bc＝；当cosA≠0时，由2sinBcosA＝6sinAcosA，得sinB＝3sinA．根据正弦定理，可知b＝3a，再由余弦定理，得cosC＝＝＝cos＝，解得a＝1，b＝3，所以此时△ABC的面积为S＝absinC＝.综上可得△ABC的面积为或，故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列条件判断三角形解的情况，正确的是( )A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝15，b＝2，A＝90°，有一解D．a＝40，b＝30，A＝120°，有一解解析：选CD A中，a＝bsinA，有一解；B中csinB<b<c，有两解；C中A＝90°且a>b，有一解；D中a>b且A＝120°，有一解．综上，C、D正确．10．下列说法中，正确的是( )A．(＋＋)－(－－)＝0B．若a·b<0，则a与b的夹角是钝角C．向量e1＝(2，－3)，e2＝能作为平面内所有向量的一个基底D．若a⊥b，则a在b上的投影向量为0解析：选AD (＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0，A正确；当|a|＝|b|＝1，且a与b反向时，a·b＝－1<0，此时a与b的夹角为180°，B10
不正确；因为e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为基底，C不正确；由投影向量的定义知D正确．故选A、D.11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是( )A．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形解析：选AC 由＝＝，利用正弦定理可得＝＝，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，即sin(B＋C)＝sinB，即sinA＝sinB，则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cosC＝＞0，C为锐角，A，B不一定是锐角，D不正确．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为解析：选ACD 因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(x＞0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确；由上可知，c边最大，所以三角形中角C最大，又cosC＝＝＝＞0，所以角C为锐角，所以B错误；由上可知a边最小，所以三角形中角A最小，又cosA＝＝10
＝，所以cos2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cosC，由三角形中角C最大且角C为锐角可得，2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以C正确；由正弦定理得2R＝，又sinC＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________．解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.答案：414．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．解析：(a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，即a⊥b.故a，b的夹角为.答案：15．在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则sinA＝________，a＝________．解析：因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.答案： 216.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________．解析：由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×＝44100.∴AB＝DE＝210.答案：210四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10
17．(本小题满分10分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①2＋·＝－6；②b2＋c2＝52；③△ABC的面积为3，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c＝2，cosA＝－，________．(1)求a；(2)求cos的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：选择条件①：(1)2＋·＝·(＋)＝·＝bccosA＝－6.∵cosA＝－，∴bc＝24，由解得或(舍去)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.(2)cosC＝＝＝，∴sinC＝＝，∴cos2C＝2cos2C－1＝，sin2C＝2sinCcosC＝，∴cos(2C＋)＝cos2Ccos－sin2Csin＝.选择条件②：(1)由解得或(舍去)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.(2)同条件①.选择条件③：10
(1)∵cosA＝－，∴sinA＝，∴S△ABC＝bcsinA＝bc＝3，∴bc＝24，由解得或(舍去)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.(2)同条件①.18．(本小题满分12分)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．已知＝3e1＋2e2.(1)计算||的大小；(2)设向量a＝(m，－1)，若a与共线，求实数m的值；(3)是否存在实数n，使得与向量b＝(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)e1·e2＝1×1×cos60°＝，则||＝|3e1＋2e2|＝＝＝.(2)因为a＝(m，－1)＝me1－e2，且a与共线，所以存在实数λ，使得a＝λ，即me1－e2＝λ(3e1＋2e2)＝3λe1＋2λe2.10
由平面向量基本定理，可得解得所以实数m的值为－.(3)若存在实数n，使得与向量b＝(1，n)垂直，则·b＝0，即(3e1＋2e2)·(e1＋ne2)＝3e＋(3n＋2)e1·e2＋2ne＝3＋(3n＋2)×＋2n＝0，解得n＝－.所以存在实数n＝－，使得与向量b＝(1，n)垂直．19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知·＝2，cosB＝，b＝3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由·＝2，得c·acosB＝2.又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.由得或因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.10
20．(本小题满分12分)已知向量a＝(2＋sinx，1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3，1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．(1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b＋c＝(sinx－1，－1)，a∥(b＋c)，∴－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－.又x∈，∴x＝－.(2)∵a＝(2＋sinx，1)，b＝(2，－2)，∴f(x)＝a·b＝2(2＋sinx)－2＝2sinx＋2.∵x∈R，∴－1≤sinx≤1，∴0≤f(x)≤4，∴f(x)的最小值为0.(3)∵a＋d＝(3＋sinx，1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，∴k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，由sinx∈[－1，1]，得k∈[－5，－1]，∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinA·sin＝sinB·sinA．因为sinA≠0，所以sin＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.10
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知，A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.22．(本小题满分12分)某市发生水灾，国家抗震救灾指挥部紧急从A处调飞机去某地运救灾物资到受灾的B处．现有以下两个方案供选择：方案一：飞到位于A处正东方向上的C市调运救灾物资，再飞到B处；方案二：飞到位于A处正南方向上的D市调运救灾物资，再飞到B处．已知AD＝500km，AB＝800km，∠ACB＝2∠DAB＝120°.那么选择哪种方案，能使得飞行距离最短？解：方案一：在△ABC中，易知∠CAB＝90°－∠DAB＝30°，∠ACB＝120°，AB＝800km，由＝得BC＝km.且△ABC为等腰三角形，所以AC＋BC＝2BC＝(km)．方案二：在△ADB中，∠DAB＝60°，AD＝500km，AB＝800km，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB＝8002＋5002－2×800×500×cos60°＝4.9×105，所以BD＝700km，所以BD＋AD＝700＋500＝1200(km)．因为1200>≈923.2，故选择方案一，能使飞行距离最短．10
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