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36平面与平面垂直的性质课时检测(附解析新人教A版必修第二册)

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平面与平面垂直的性质[A级 基础巩固]1.下列命题错误的是(  )A.若平面α⊥平面β,则α内所有直线都垂直于βB.若平面α⊥平面β,则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线C.若平面α⊥平面β,则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线D.若平面α⊥平面β,则经过α内一点与β垂直的直线在α内解析:选A 在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直线AB1⊂平面AA1B1B,但AB1与平面ABCD不垂直,故A错.2.已知平面α,β,γ,则下列命题中正确的是(  )A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γB.α∥β,β⊥γ,则α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥bD.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α解析:选B A中α,γ可以相交;C中如图:a与b不一定垂直;D中b仅垂直于α的一条直线a,不能判定b⊥α.故选B.3.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是(  )A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.垂直解析:选D 由于正方体中面ABB1A1⊥面A1B1C1D1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.故选D.4.(多选)如图,在四面体PABC中,AB=AC,PB=PC,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,则下列结论中一定成立的是(  )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDF⊥平面ABC解析:选ABC 因为D,F分别为AB,AC的中点,则DF为△ABC的中位线,则BC∥DF,依据线面平行的判定定理,可知BC∥平面PDF,A成立;又E为BC的中点,且PB=PC,AB=6 AC,则BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直的判定定理,可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF,所以DF⊥平面PAE,B成立;又DF⊂平面PDF,则平面PDF⊥平面PAE,C成立;要使平面PDF⊥平面ABC,已知AE⊥DF,则必须有AE⊥PD或AE⊥PF,由条件知此垂直关系不一定成立,D不一定成立.故选A、B、C.5.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影点H必在(  )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析:选A 连接AC1(图略).∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC,∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上,故选A.6.如图,在三棱锥PABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.解析:∵侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),∴PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB===.答案:7.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=________.解析:如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案:28.如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是________.6 解析:如图,过A作AO⊥BD于点O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD.∴∠ADO=45°.答案:45°9.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.证明:(1)因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以直线A1F∥平面ADE.10.如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF=BE.求证:EA⊥平面ABCD.证明:设AF=EF=a,则BE=2a.6 如图,过点A作AM⊥BE于点M,∵AF∥BE,∴AM⊥AF.又∵AF⊥EF,∴AM∥EF,又AF=EF,∴四边形AMEF是正方形.∴AM=a,EM=MB=a,∴AE=AB=a,∴AE2+AB2=EB2,∴AE⊥AB.又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AE⊂平面ABEF,∴EA⊥平面ABCD.[B级 综合运用]11.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为(  )A.2        B.7C.D.解析:选A 如图所示,因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知AC=4,BC=4,故CM的最小值为2,又PC=4,则PM的最小值为=2.12.(多选)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则在翻折过程中,可能成立的结论为(  )A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD.平面CDF⊥平面BCF解析:选BC 对于A,因为BC∥AD,AD与DF相交且不垂直,所以BC与DF不垂直,故A错误;对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,若BP⊥CF,则BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使BP⊥CF,故B正确;对于C,当点P落在BF上时,DP⊥平面BCF,DP⊂平面BDF,所以平面BDF⊥平面BCF,故C正确;对于D,因为点D的射影不可能在FC上,所以平面CDF⊥平面BCF不成立,即D错误.故选B、C.13.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN6 的长等于________.解析:如图,取CD的中点G,连接MG,NG.因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因为平面ABCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG,所以MN==.答案:14.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,BB1=2BC=2,∠BCC1=60°.(1)求证:C1B⊥平面A1B1C1;(2)P是线段BB1上的动点,当平面C1AP⊥平面AA1B1B时,求线段B1P的长.解:(1)证明:由AB⊥侧面BB1C1C,得AB⊥C1B.由BB1=2BC=2,∠BCC1=60°,知∠C1BC=90°,即C1B⊥CB.又CB∩AB=B,所以C1B⊥平面ABC.由棱柱的性质,知平面ABC∥平面A1B1C1,所以C1B⊥平面A1B1C1.(2)因为AB⊥侧面BB1C1C,所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.过点C1作C1P⊥BB1,交BB1于点P,连接AP(图略),则C1P⊥平面AA1B1B.又C1P⊂平面C1AP,所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.在▱BB1C1C中,∠BB1C1=∠BCC1=60°,∠C1BC=∠BC1B1=90°,所以B1P=B1C1=BC=.[C级 拓展探究]15.如图a,在矩形ABCD中,AD=1,AB=3,M为CD上一点,且CM=2MD.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,如图b,点E是线段AM的中点.(1)求四棱锥DABCM的体积;(2)求证:平面BDE⊥平面ABCM;(3)过B点是否存在一条直线l,同时满足以下两个条件:①l⊂平面ABCM;②l⊥AD.请说明理由.6 解:(1)由已知DA=DM,E是AM的中点,∴DE⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,∴DE⊥平面ABCM.∴四棱锥DABCM的体积V=SABCM·DE=××=.(2)证明:由(1)可得,DE⊥平面ABCM,DE⊂平面DEB,∴平面DEB⊥平面ABCM.(3)过B点存在一条直线l,同时满足以下两个条件:①l⊂平面ABCM;②l⊥AD.理由:在平面ABCM中,过点B作直线l,使l⊥AM(图略),∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ABCM∩平面ADM=AM,∴l⊥平面ADM,∴l⊥AD.6 查看更多

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