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平面与平面垂直的性质[A级 基础巩固]1．下列命题错误的是( )A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于βB．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内解析：选A 在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1⊂平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错．2．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α解析：选B A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.故选B.3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．垂直解析：选D 由于正方体中面ABB1A1⊥面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．故选D.4．(多选)如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选ABC 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝6
AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立．故选A、B、C.5.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A 连接AC1(图略)．∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.6.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.答案：7.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.答案：28．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．6
解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.10.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝BE.求证：EA⊥平面ABCD.证明：设AF＝EF＝a，则BE＝2a.6
如图，过点A作AM⊥BE于点M，∵AF∥BE，∴AM⊥AF.又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，又AF＝EF，∴四边形AMEF是正方形．∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝a，∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE⊂平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.[B级 综合运用]11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2 B．7C.D．解析：选A 如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小．由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2.12．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则在翻折过程中，可能成立的结论为( )A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面BDF⊥平面BCFD．平面CDF⊥平面BCF解析：选BC 对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交且不垂直，所以BC与DF不垂直，故A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，若BP⊥CF，则BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使BP⊥CF，故B正确；对于C，当点P落在BF上时，DP⊥平面BCF，DP⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCF，故C正确；对于D，因为点D的射影不可能在FC上，所以平面CDF⊥平面BCF不成立，即D错误．故选B、C.13.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN6
的长等于________．解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝.答案：14.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：C1B⊥平面A1B1C1；(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长．解：(1)证明：由AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B.由BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，即C1B⊥CB.又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.由棱柱的性质，知平面ABC∥平面A1B1C1，所以C1B⊥平面A1B1C1.(2)因为AB⊥侧面BB1C1C，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.过点C1作C1P⊥BB1，交BB1于点P，连接AP(图略)，则C1P⊥平面AA1B1B.又C1P⊂平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.在▱BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，所以B1P＝B1C1＝BC＝.[C级 拓展探究]15．如图a，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图b，点E是线段AM的中点．(1)求四棱锥DABCM的体积；(2)求证：平面BDE⊥平面ABCM；(3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由．6
解：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点，∴DE⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABCM.∴四棱锥DABCM的体积V＝SABCM·DE＝××＝.(2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB，∴平面DEB⊥平面ABCM.(3)过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由：在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM(图略)，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD.6
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