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平面与平面垂直的判定[A级 基础巩固]1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A．0个 B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：选D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．又a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )A．相等B．互补C．互余D．相等或互补解析：选D 如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.此时两角互补；当∠BDC＝90°时，此时∠A＝∠BDC，两角相等．故选D.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值等于( )A.B.C.D．解析：选C 如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，所以tan∠A1OA＝＝.5.(多选)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选ABD 由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，5
平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确．6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角PBCA的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角PBCA的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________．解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角BADC的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC(图略)，则BC＝＝＝1.答案：18．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1BDC的大小为________．解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，∵AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝.∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC为二面角C1BDC的平面角．tan∠C1OC＝＝＝.∴∠C1OC＝30°，即二面角C1BDC的大小为30°.答案：30°9.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.5
(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)法一：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.法二：因为AB∥DC，DC⊥平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.10.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，同理BM＝＝，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.[B级 综合运用]11．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′的位置，此时A′C＝，则( )A．平面A′BD⊥平面BDCB．平面A′BD⊥平面A′BCC．平面A′DC⊥平面BDCD．平面A′DC⊥平面A′BC解析：选AD 在三棱锥A′BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝，DC＝，又A′C＝，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D，又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC.故选A、D.5
12．三棱锥VABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，则二面角VABC的大小为________．解析：如图，取AB中点O，连接VO，CO.∵在三棱锥VABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角VABC的平面角．∵VO＝＝＝1，CO＝＝＝1，∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形．∴∠VOC＝60°，∴二面角VABC等于60°.答案：60°13．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(答案不唯一，写出一个即可)．解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，也可能m⊂α，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，也可能n⊂β，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，则②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，则①m⊥n一定成立．∴①③④⇒②(或②③④⇒①)．答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)14.如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，5
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.[C级 拓展探究]15.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．解：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF，DE⊂平面DEF，PB，GB⊂平面PBG，EF∩DE＝E，PB∩BG＝B，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.5
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