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直线与平面垂直的判定[A级 基础巩固]1．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于( )A．20° B．70°C．90°D．110°解析：选B ∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A 由题图可知，∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B 由几何体ABCDA1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1.4．(多选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列结论，其中正确的结论是( )A．AC∥平面CB1D1B．AC1⊥平面CB1D1C．AC1与底面ABCD所成角的正切值是D．AD1与BD为异面直线6
解析：选BCD 因为AC∩平面CB1D1＝C，所以AC与平面CB1D1不平行，故A错误；连接BC1，A1C1(图略)，易证AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C.因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故B正确；因为CC1⊥底面ABCD，所以∠C1AC即为AC1与底面ABCD所成的角，所以tan∠C1AC＝＝，故C正确；AD1与BD既无交点也不平行，所以AD1与BD为异面直线，故D正确．5．(多选)如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC解析：选ABC ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．答案：47．在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.6
(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.答案：(1)45° (2)30°8．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.答案：90°9．如图，在四面体ABCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)．∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.6
10.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点C到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A⊂平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CED，所以AB1⊥平面CED.[B级 综合运用]11.如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内所组成的集合是( )A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点解析：选B 连接BC，AB(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．12．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )解析：选BD 对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选B、D.13．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可)．解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，6
由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)答案：A1C1⊥B1C1(答案不唯一)14．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥平面B1ED1.证明：∵ABCDA1B1C1D1为长方体，∴AB⊥平面BB1C1C，又B1E⊂平面BB1C1C，∴AB⊥B1E.∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1.如图，连接A1C1，∵AB＝AD，∴长方体的底面A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1.又AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1.又B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面B1ED1.[C级 拓展探究]15.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．解：(1)证明：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面AA1B1B.(2)如图，作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．证明如下：6
因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.因为AA1＝A1B1＝，所以四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，所以F为BB1的中点，所以当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.6
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