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33直线与平面垂直的判定课时检测(附解析新人教A版必修第二册)

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资料简介

直线与平面垂直的判定[A级 基础巩固]1.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于(  )A.20°       B.70°C.90°D.110°解析:选B ∵l∥m,∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角,又直线l与平面α所成的角为70°,∴m与α所成的角为70°.故选B.2.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(  )A.60°B.45°C.30°D.120°解析:选A 由题图可知,∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.3.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,与直线AD1垂直的平面是(  )A.平面DD1C1CB.平面A1DCB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB解析:选B 由几何体ABCDA1B1C1D1为正方体,可知AD1⊥A1B1,AD1⊥A1D,A1B1∩A1D=A1,故AD1⊥平面A1DCB1.4.(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列结论,其中正确的结论是(  )A.AC∥平面CB1D1B.AC1⊥平面CB1D1C.AC1与底面ABCD所成角的正切值是D.AD1与BD为异面直线6 解析:选BCD 因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故A错误;连接BC1,A1C1(图略),易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C.因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故B正确;因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC即为AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC==,故C正确;AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故D正确.5.(多选)如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列判断正确的是(  )A.BC⊥平面PABB.AD⊥PCC.AD⊥平面PBCD.PB⊥平面ADC解析:选ABC ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB,故A判断正确;由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,BC⊥PB,∵PA=AB,D为PB的中点,∴AD⊥PB,从而AD⊥平面PBC,故C判断正确;∵PC⊂平面PBC,∴AD⊥PC,故B判断正确;在平面PBC中,PB⊥BC,∴PB与CD不垂直,即PB不垂直于平面ADC,故D判断不正确.6.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有直角三角形的个数为________.解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB,同理得CD⊥PD,故共有4个直角三角形.答案:47.在正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______;(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________.解析:(1)由线面角定义知,∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角,∠A1BA=45°.6 (2)如图,连接A1D,设A1D∩AD1=O,连接BO,则易证A1D⊥平面ABC1D1,∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB,∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O=A1B,∴∠A1BO=30°.答案:(1)45° (2)30°8.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=________.解析:∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M,B1M∩B1C1=B1.∴MN⊥平面C1B1M,∴MN⊥C1M,即∠C1MN=90°.答案:90°9.如图,在四面体ABCD中,∠BDC=90°,AC=BD=2,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=.求证:BD⊥平面ACD.证明:取CD的中点为G,连接EG,FG(图略).∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG∥BD.又E为AD的中点,AC=BD=2,∴EG=FG=1.∵EF=,∴EF2=EG2+FG2,∴EG⊥FG,∴BD⊥EG.∵∠BDC=90°,∴BD⊥CD.又EG∩CD=G,∴BD⊥平面ACD.6 10.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点C到AB1的距离为CE,D为AB的中点.求证:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面CED.证明:(1)由题意知AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CD⊥AB.又CD⊥AA1,AB∩A1A=A,AB,A1A⊂平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1,CD∩CE=C,CD,CE⊂平面CED,所以AB1⊥平面CED.[B级 综合运用]11.如图,点A∈α,点B∈α,点P∉α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则动点C在平面α内所组成的集合是(  )A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.两条平行直线D.半圆,但要去掉两个点解析:选B 连接BC,AB(图略),由于PC⊥AC,PB⊥AC,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,说明动点C在以AB为直径的圆上,但不与点A,B重合.12.(多选)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(  )解析:选BD 对于A,由AB与CE所成角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;对于C,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于D,连接AC(图略),由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.故选B、D.13.在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1(答案不唯一,填上你认为正确的一种条件即可).解析:如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可,6 由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)答案:A1C1⊥B1C1(答案不唯一)14.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E∈CC1,B1E⊥BC1,AB=AD,求证:AC1⊥平面B1ED1.证明:∵ABCDA1B1C1D1为长方体,∴AB⊥平面BB1C1C,又B1E⊂平面BB1C1C,∴AB⊥B1E.∵B1E⊥BC1,AB∩BC1=B,∴B1E⊥平面ABC1,∴B1E⊥AC1.如图,连接A1C1,∵AB=AD,∴长方体的底面A1B1C1D1为正方形,∴A1C1⊥B1D1.又AA1⊥平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1.又AA1∩A1C1=A1,∴B1D1⊥平面AA1C1,∴B1D1⊥AC1.又B1E∩B1D1=B1,∴AC1⊥平面B1ED1.[C级 拓展探究]15.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.(1)求证C1D⊥平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.解:(1)证明:因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B.(2)如图,作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求.证明如下:6 因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.因为AA1=A1B1=,所以四边形AA1B1B为正方形.又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,所以F为BB1的中点,所以当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.6 查看更多

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