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13用余弦定理正弦定理解三角形习题课课时检测(附解析新人教A版必修第二册)

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用余弦定理、正弦定理解三角形(习题课)[A级 基础巩固]1.若三角形的两边长为3和5,其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根,则该三角形的面积是(  )A.6          B.C.8D.10解析:选A 解方程5x2-7x-6=0,得x=-或x=2(舍去).设三角形边长为3,5的两边的夹角为α,则cosα=-,sinα=.故该三角形的面积S=×3×5×=6.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b2+c2-a2=bc=1,则△ABC的面积为(  )A.B.C.D.解析:选C 由b2+c2-a2=bc及余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA,可得bc=2bccosA,即cosA=,所以sinA=.因为bc=1,所以S=bcsinA=×1×=,故选C.3.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为(  )A.B.3C.D.7解析:选A 因为S△ABC=AB·ACsinA,所以×2·ACsin60°=.所以AC=1.又BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+1-2×2cos60°=3.所以BC=.4.已知△ABC的周长为20,面积为10,A=60°,则BC边的长为(  )A.5B.6C.7D.8解析:选C 由题知a+b+c=20,bcsin60°=10.所以bc=40.a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120.所以a=7.即BC边的长为7.5.在△ABC中,若b=2,A=120°,其面积S=,则△ABC外接圆的半径为(  )A.B.26 C.2D.4解析:选B 因为S=bcsinA,所以=×2csin120°.所以c=2.所以a===2.设△ABC外接圆的半径为R.所以2R===4,所以R=2.6.在△ABC中,a=3,b=2,cosC=,则△ABC的面积为________.解析:因为cosC=,0<C<π,所以sinC=.所以S△ABC=absinC=×3×2×=4.答案:47.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.解析:由2B=A+C,及A+B+C=π知,B=.在△ABD中,AB=1,BD==2,所以AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos=3.因此AD=.答案:8.在△ABC中,已知A=60°,AB∶AC=8∶5,面积为10,则其周长为________.解析:设AB=8k,AC=5k,k>0,所以S△ABC=AB·ACsinA=10k2=10.所以k=1,AB=8,AC=5.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=82+52-2×8×5×=49,所以BC=7.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=20.6 答案:209.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b=,c=1,cosB=.(1)求sinC的值;(2)求△ABC的面积.解:(1)∵b=,c=1,cosB=.∴sinB==.∴由正弦定理可得sinC===.(2)∵c<b,∴C为锐角,∴由(1)可得cosC==.∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=,∴S△ABC=bcsinA=××1×=.10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=-,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解:(1)因为tanA=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理,得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.6 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.[B级 综合运用]11.在平行四边形ABCD中,AC=,BD=,周长为18,则平行四边形的面积是(  )A.16B.17.5C.18D.18.5解析:选A 设平行四边形的两邻边AD=b,AB=a,∠BAD=α,则a+b=9,a2+b2-2abcosα=17,a2+b2-2abcos(180°-α)=65,解得a=5,b=4,cosα=或a=4,b=5,cosα=,所以S平行四边形ABCD=absinα=16.12.如图,在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD=BD,BC=2BD,则sinC的值是________.解析:设AB=x,则AD=x,BD=x,BC=x.在△ABD中,由余弦定理,得cosA==,则sinA=.在△ABC中,由正弦定理,得==,解得sinC=.答案:13.如图,若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60,则cosA=________,该圆的直径长度为________.解析:由余弦定理得BD2=392+522-2×39×52cosC,BD2=252+602-2×25×60cosA,6 ∵A+C=180°,∴cosC=-cosA,即(392-252)-(602-522)+2×39×52cosA+2×25×60cosA=0,∴cosA=0.∵0°<A<180°,∴A=90°,∴BD2=392+522=652,∴BD=65.答案:0 6514.在△ABC中,角A,B,C所对的边长是a,b,c,向量m=(b,c),且满足|m|2=a2+bc.(1)求角A的大小;(2)若a=,求△ABC的周长的最大值.解:(1)∵m=(b,c),且|m|2=a2+bc,∴b2+c2=a2+bc,由余弦定理,得cosA==,∵0<A<π,因此A=.(2)由a=,A=及余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×=,∴(b+c)2≤4a2=12,∴b+c≤2,当且仅当b=c=时,等号成立,因此,△ABC的周长的最大值为3.[C级 拓展探究]15.D为△ABC的边BC的中点,AB=2AC=2AD=2.(1)求BC的长;(2)若∠ACB的平分线交AB于点E,求S△ACE.解:(1)由题意知AB=2,AC=AD=1.设BD=DC=m.在△ADB与△ADC中,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.即1+m2-2mcos∠ADB=4,①1+m2+2mcos∠ADB=1.②6 ①+②得m2=,所以m=,即BC=.(2)在△ACE与△BCE中,由正弦定理得=,=,由于∠ACE=∠BCE,且=,所以==.所以BE=AE,所以AE=(-1).又cos∠BAC===-,所以sin∠BAC=,所以S△ACE=AC·AE·sin∠BAC=×1×(-1)×=.6 查看更多

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