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10平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例课时检测(附解析新人教A版必修第二册)

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平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例[A级 基础巩固]1.如果一架飞机向东飞行200km,再向南飞行300km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么(  )A.s>|a|        B.s<|a|C.s=|a|D.s与|a|不能比大小解析:选A s=200+300=500(km),|a|==100(km),∴s>|a|.故选A.2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90°时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为(  )A.40NB.10NC.20ND.10N解析:选B 设夹角90°时,合力为F,|F1|=|F2|=|F|cos45°=10,当θ=120°,由平行四边形法则知:|F合|=|F1|=|F2|=10N.3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC的中点,则cos∠BDC=(  )A.-B.C.0D.解析:选B 如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC为,的夹角,∴cos∠BDC===.4.(多选)已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则下列结论错误的是(  )A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点6 解析:选ABC 由+++=0知,+=-(+).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知+=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.5.(多选)设a,b,c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于(  )A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为邻边的平行四边形的面积C.以a,b为两边的三角形面积的2倍D.以b,c为两边的三角形面积解析:选AC 设b与c的夹角为α,a与b的夹角为θ,则|b·c|=|b|·|c|·|cosα|=|b|·|a|·|cos(90°±θ)|=|b|·|a|·sinθ.故选A、C.6.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x=________.解析:设AB的中点为M,则M,=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),⊥,则·=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.答案:7.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m,且力F所做的功W=250J,则F与s的夹角等于________.解析:设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cosθ,∴cosθ=.又θ∈[0,π],∴θ=.答案:8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且⊥,则||=________.解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.6 设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),所以=(2,-a),=(4,a),因为⊥,所以·=0,所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8,所以a=2,所以=(2,-2),所以||==2.答案:29.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.证明:·=(+)·(+)=·=·=·=-||2+||2.因为CA=CB,所以-||2+||2=0,故AD⊥CE.10.某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.解:设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v.∵+=,∴=v-v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵+=,∴=v-2v1.这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感觉到的风速.由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,6 ∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=BC.∴|v|=20km/h.∴实际风速的大小是20km/h,为东南风.[B级 综合运用]11.(多选)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是(  )A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变解析:选AC 设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向夹角为θ.则|F|cosθ=|f|,|F|=.∵θ增大,cosθ减小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力变小.12.在△ABC中,设-=2·,那么动点M的轨迹必通过△ABC的(  )A.垂心B.内心C.外心D.重心解析:选C 假设BC的中点是O,则-=(+)·(-)=2·=2·,即(-)·=·=0,所以⊥,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故选C.13.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则·=________.解析:因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以92+24·+162=252.6 因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得·=0,所以·=-(3+4)·(-)=-(3·+42-32-4·)=-.答案:-14.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0s时分别在P0,Q0处,当⊥时所需的时间t为多少秒?解:e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,||=t,||=t,∵=||=(t,t),=||=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),∵⊥,∴·=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当⊥时所需的时间为2s.[C级 拓展探究]15.我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e=(A,B)是直线l的一个方向向量,那么n=(-B,A)就是直线l的一个法向量(图①).借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离.6 已知P是直线l外一点,n是直线l的一个法向量,在直线l上任取一点Q,那么在法向量n上的投影向量为(||cosθ)(θ为向量n与的夹角),其模就是点P到直线l的距离d,即d=(图②).据此,请解决下面的问题:已知点A(-4,0),B(2,-1),C(-1,3),求点A到直线BC的距离.解:设点P(x,y)是直线BC上的任意一点,则∥,又=(x-2,y+1),=(-3,4),∴4(x-2)=-3(y+1),即4x+3y-5=0,∴直线BC的一个方向向量为.取e=(3,-4),则n=(4,3)为BC的一个法向量,又=(6,-1),∴点A到直线BC的距离d===.6 查看更多

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