首页 > 高中 > 数学 > 新人教B版必修第一册第三章函数章末检测试卷（附解析）
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函数A卷—学考测评卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝的定义域为( )A．(－∞，0) B．(－∞，－1)C.(－1，0)D．(－∞，－1)∪(－1，0)解析：选D 根据题意有⇒x<0且x≠－1，即x∈(－∞，－1)∪(－1，0)．2．已知函数f(x)＝则f的值为( )A.B．－C.D．18解析：选C 由题意得f(3)＝32－3－3＝3，那么＝，所以f＝f＝1－＝.3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )A．－B.C.D．－解析：选B 令t＝x－1，则x＝2(t＋1)，进而f(t)＝4(t＋1)－5＝4t－1，由f(a)＝6，得4a－1＝6，解得a＝.4．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是( )16
A．x0∈B．x0＝－C．x0∈D．x0＝1解析：选C 由于f·f(2)<0，则x0∈.5．图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图像是( )解析：选B 由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的越来越慢，结合选项可知选B.6．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )A．0B．1C．2D．不确定解析：选C 方程2x2＋bx－3＝0的判别式Δ＝b2＋24>0恒成立，所以方程有两个不等实根，因而函数f(x)有两个零点．7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是( )解析：选A 由图像知y＝f(x)为偶函数，y＝g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数且x≠0.由图像知x∈时，f(x)>0，g(x)<0，x∈时，f(x)<0，g(x)<0，所以x∈时，y＝f(x)·g(x)<0，x∈时，y＝f(x)·g(x)>0.故A正确．8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )A．f(2)>f(3)B．f(2)>f(5)16
C．f(3)>f(5)D．f(3)>f(6)解析：选D ∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)．令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝f(2＋4)＝f(6)，同理，f(3)＝f(5)．又知f(x)在(4，＋∞)上为减函数，∵5<6，∴f(5)>f(6)．∴f(2)<f(3)，f(2)＝f(6)<f(5)，f(3)＝f(5)>f(6)．故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是( )A．f(0)＝0B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x解析：选ABD 由奇函数在x＝0处有定义知，f(0)＝0，故A正确；由图像的对称性可知B正确；由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C不正确；对于D，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，所以－f(x)＝f(－x)＝x2＋2x，所以f(x)＝－x2－2x，故D正确．综上可知，正确结论为A、B、D.10．关于函数f(x)＝，下列结论正确的是( )A．f(x)的图像过原点B．f(x)是奇函数C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减D．f(x)是定义域上的减函数解析：选AC 函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A对；图像关于(1，1)点对称，B错；f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)是减函数，整个定义域上不是减函数，故C对，D错，故选A、C.11．设0<a<b，函数f(x)＝x2－4x＋6，x∈[a，b]的最小值是a，最大值是b，则( )A．b＝2B．a＋b＝516
C．ab＝6D．a＝2解析：选BCD ∵f(x)＝(x－2)2＋2≥2，∴a≥2，∴f(x)在[a，b]上单调递增．∵f(x)在区间[a，b](a<b)上的最小值为a，最大值为b，∴f(a)＝a，f(b)＝b.∴a，b为方程f(x)＝x的两根．由x2－4x＋6＝x，得a＝2，b＝3.故选B、C、D.12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km解析：选BCD 在A中，出租车行驶4km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.3元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶xkm时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选B、C、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数y＝的值域是________．解析：由题意知，函数y＝的定义域为x∈R，则x2＋1≥1，∴y≥1.答案：[1，＋∞)14．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________．解析：由f(x)>x，得或解得x>5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)15．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．16
解析：设按出厂价y元购买x(x≤50)套应付a元，则a＝xy.再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元，则a＝(x＋11)(y－30)，其中x＋11＞50.∴xy＝(x＋11)(y－30)(39＜x≤50)．∴x＝y－30.又x∈N，y∈N(因价格为整数)，39＜x≤50，∴x＝44，y＝150，a＝44×150＝6600.答案：660016．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.(1)若函数f(x)的图像与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；(2)若函数f(x)在[－1，1]上存在零点，则实数a的取值范围为________．解析：(1)∵f(x)的图像与x轴无交点，∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．(2)∵函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝2，且开口向上，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，∴要使f(x)在[－1，1]上存在零点，需满足即∴－8≤a≤0，即实数a的取值范围为[－8，0]．答案：(1)(1，＋∞) (2)[－8，0]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝.(1)求f(5)的值；(2)求函数f(x)的解析式．解：(1)因为函数f(x)是奇函数，且x<0时，f(x)＝，所以－f(5)＝f(－5)＝＝－，所以f(5)＝.(2)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝＝－f(x)，16
所以x>0时，f(x)＝－＝.所以f(x)＝18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．解：(1)函数f(x)的大致图像如图所示．(2)由函数f(x)的图像得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2，4]．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－，且f＝3.(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．解：(1)因为f(x)＝2x－，且f＝3，所以f＝1－2a＝3，解得a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝2x＋，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下：设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1≠x2，则＝＝＝2－，16
由x1，x2∈(1，＋∞)知x1x2>1，<1，所以2－>0，即>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．(1)若a＝－1，求函数的零点；(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.(2)①当a＝0时，2x－2＝0得x＝1，符合题意．②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·＝0，则x1＝1，x2＝－，由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－≥1或－≤0，解得－1≤a<0或a≤－2，综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0]．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可．所以即16
解得a≥.则实数a的取值范围为.22．(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．解：(1)由题意可知，2≥30.所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，所以x≤－或x≥3.又1≤x≤10，所以3≤x≤10.所以x的取值范围是[3，10]．(2)易知获得的利润y＝＝120，x∈[1，10]，令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．当t＝，即x＝6时，ymax＝610，故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元． B卷—高考滚动测评卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A．y＝x＋1 B．y＝－x2C．y＝D．y＝x|x|解析：选D 函数y＝x＋1为非奇非偶函数，函数y＝－x2为偶函数，y＝和y＝x|x|是奇函数，但y＝不是增函数，故选D.16
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x2＋x－2，则f(0)＋f(1)＝( )A．1B．3C．－3D．－1解析：选A 由于函数f(x)为奇函数，故f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－2)＝1，f(0)＝0，所以f(0)＋f(1)＝1.故选A.3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )A．至少有一个实根B．至多有一个实根C．没有实根D．有唯一实根解析：选D f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，且f(a)·f(b)<0，所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解．4．函数f(x)＝|x－1|与g(x)＝x(x－2)的单调递增区间分别为( )A．[1，＋∞)，[1，＋∞)B．(－∞，1]，(1，＋∞)C．(1，＋∞)，(－∞，1]D．(－∞，＋∞)，[1，＋∞)解析：选A f(x)＝|x－1|＝故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增．5.已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图像如图所示，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的情况是( )A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定解析：选C 由图像可得k＜0.对于方程x2＋x＋k－1＝0，Δ＝b2－4ac＝12－4×1×(k－1)＝5－4k，∵k＜0，∴－4k＞0，∴Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．6．已知函数f(x)＝x3＋(a＞0)的最小值为8，则实数a＝( )A．1B．2C．4D．8解析：选B 由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞)．因为函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2.故选B.7．直角梯形OABC被直线x＝t截得的左边的面积S＝f(t)的图像大致是( )16
解析：选C 由题中图像知，S＝所以选C.8．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则函数f(x)的值域为( )A．[－6，－2]∪(2，＋∞)B．[－6，－2]∪(8，＋∞)C．[－6，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选A 当x＜g(x)，即x＜x2－2，即x＞2或x＜－1时，f(x)＝g(x)＋x＋4＝x2－2＋x＋4＝x2＋x＋2＝＋，则f(x)＞f(－1)＝2，此时值域为(2，＋∞)；当x≥g(x)，即－1≤x≤2时，f(x)＝g(x)－4＝x2－2－4＝x2－6，则f(x)的最小值为f(0)＝－6，最大值为f(2)＝－2，此时值域为[－6，－2]．综上，函数f(x)的值域为[－6，－2]∪(2，＋∞)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．关于函数f(x)＝的结论正确的是( )A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)B．单调增区间是(－∞，1]C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D．单调增区间是[－1，1]解析：选CD 由－x2＋2x＋3≥0可得，x2－2x－3≤0，可得，－1≤x≤3，即函数的定义域[－1，3]，由二次函数的性质可知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0，4]，∴函数的值域[0，2]，结合二次函数的性质可知，函数在[－1，1]上单调递增．在[1，3]上单调递减．故选C、D.10．已知狄利克雷函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )A．f(x)的值域为[0，1]B．f(x)定义域为R16
C．f(x＋1)＝f(x)D．f(x)是奇函数解析：选BC 根据分段函数的定义域为每段函数的并集可知，函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R，故函数的定义域为R，值域为{1，0}，当x为有理数时，x＋1也为有理数，则f(x＋1)＝f(x)＝1，当x为无理数时，x＋1也为无理数，则f(x＋1)＝f(x)＝0，从而有f(x＋1)＝f(x)，不满足f(－x)＝－f(x)，故选B、C.11．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程ykm与时间xmin的关系，下列结论正确的是( )A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x解析：选BD 在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图像知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确；故选B、D.12．已知定义域为R的函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，则( )A．f(－2)>f(3)B．f(－2)>f(5)C．f(－3)>f(5)D．f(－3)>f(6)解析：选BD ∵y＝f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)．∴f(－2)＝f(4)，f(－3)＝f(5)．又知f(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴f(－2)<f(3)，f(－2)>f(5)，f(－3)＝f(5)>f(6)．故选B、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)16
13．若函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点为，则f(1)＝________．解析：因为函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点为，所以是方程2x2－ax＋3＝0的一个根，则2×－a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0.答案：014．f(＋1)＝x＋3，则f(x)＝________．解析：由题可设＋1＝t，∴x＝(t－1)2，t≥1，∴f(t)＝(t－1)2＋3，∴f(x)＝(x－1)2＋3(x≥1)．答案：(x－1)2＋3(x≥1)15．定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于x＝0对称，则f(－1)与f(3)的大小关系是________．解析：由于函数f(x＋2)的图像关于x＝0对称，所以函数f(x)的图像关于x＝2对称，所以f(3)＝f(1)．又f(x)在(－∞，2)上是增函数，且－1＜1，所以f(－1)＜f(1)，即f(－1)＜f(3)．答案：f(－1)＜f(3)16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.(1)若a>b，则f(a)与f(b)的大小关系为________；(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，则实数m的取值范围为________．解析：(1)因为a>b，所以a－b>0，由题意得>0，所以f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．16
答案：(1)f(a)>f(b) (2)(－∞，4]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.(1)求m；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，又∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)．∴此函数是奇函数．18．(本小题满分12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；(2)若f(x)＝，求实数x的值．解：(1)根据图像可知f(4)＝0，则f(f(4))＝f(0)＝1.设线段对应的方程为y＝kx＋b(－1≤x≤0)．将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b＝1，k＝1，即y＝x＋1(－1≤x≤0)．当x>0时，设y＝ax2＋bx＋c.因为图像过点(0，0)，(4，0)，(2，－1)，代入可得y＝x2－x.所以f(x)＝(2)当x＋1＝时，x＝－，符合题意；当x2－x＝时，解得x＝2＋或x＝2－(舍去)．故x的值为－或2＋.19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k16
的取值范围．解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1，由f(x)≥0恒成立，知a>0且Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1，从而f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2，2]上是单调函数，∴－≤－2或－≥2，解得k≤－2或k≥6.即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数f(x)是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，而f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2)，由于x1≥2，x2≥2，且x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2>，∴f(x1)<f(x2)，故f(x)在[2，＋∞)上单调递增．21．(本小题满分12分)2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车的售价为5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润＝销售额－成本)(1)求2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(2)当2020年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．16
解：(1)当0＜x＜40时，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500；当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－＋4500－2500＝2000－，所以L(x)＝(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，所以L(x)max＝L(20)＝1500；当x≥40时，L(x)＝2000－≤2000－2＝2000－200＝1800，当且仅当x＝，即x＝100时等号成立，故L(x)max＝L(100)＝1800＞1500，所以当2020年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋mx＋m－1(a≠0)．(1)若f(－1)＝0，判断函数f(x)的零点个数；(2)若对任意实数m，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；(3)已知x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，求证：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在区间(x1，x2)上有实数根．解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－m＋m－1＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x2＋mx＋m－1.Δ＝m2－4(m－1)＝(m－2)2.当m＝2时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当m≠2时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2)已知a≠0，则Δ1＝m2－4a(m－1)>0对于m∈R恒成立，即m2－4am＋4a>0恒成立，∴Δ2＝16a2－16a<0，解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0，1)．(3)证明：设g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]，g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]．16
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2<0，∴g(x)＝0在区间(x1，x2)上有实数根．即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在区间(x1，x2)上有实数根．16
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