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24零点的存在性及其近似值的求法课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

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零点的存在性及其近似值的求法[A级 基础巩固]1.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的,且其中的四组对应值如下表,那么在下列区间中,函数f(x)不一定存在零点的是(  )x1235f(x)3-120A.(1,2)       B.[1,3]C.[2,5)D.(3,5)解析:选D 由图表可知,f(1)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0.由f(1)·f(2)<0,可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点;则函数f(x)在[1,3]上一定有零点;由f(2)·f(3)<0,可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点;则函数f(x)在[2,5)上一定有零点;由f(3)>0,f(5)=0,可知f(x)在(3,5)上不一定有零点.所以函数f(x)不一定存在零点的是(3,5).故选D.2.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(  )A.[1,4]       B.[-2,1]C.D.解析:选D ∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为,,,.3.函数f(x)=x3-9的零点所在的大致区间是(  )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:选D 因为函数f(x)=x3-9在R上单调递增,f(2)=8-9=-1<0,f(3)=27-9=18>0,所以根据零点存在定理,可得函数f(x)=x3-9的零点所在的大致区间是(2,3).故选D.4.二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表:6 x-3-2-101234f(x)6m-4-6-6-4n6不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在区间是(  )A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-∞,-3)和(4,+∞)解析:选A 因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以方程在(-3,-1)内必有根.又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以方程在(2,4)内必有根.5.(多选)若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(  )A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点解析:AC 因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)·f(1)<0,又函数f(x)的图像在R上连续不断,由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.又f(1)·f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.故选A、C.6.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间).解析:因为f(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.答案:(2,3)7.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是____________.解析:∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,∴函数f(x)=x2+ax+b图像与x轴相切.∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b.答案:a2=4b8.求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度ε=0.1),用“二分法”逐次计算列表如下:端(中)点的值中点函数值符号零点所在区间|an-bn|6 (1,1.5)0.51.25f(1.25)<0(1.25,1.5)0.251.375f(1.375)>0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)<0(1.3125,1.375)0.0625则函数零点的近似值为________.解析:∵精确度ε=0.1,由表可知|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,∴函数零点的近似值为1.3125.答案:1.31259.已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,求下列条件下,实数a的取值范围.(1)零点均大于1;(2)一个零点大于1,一个零点小于1;(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内.解:(1)由题可得方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理,得解得2≤a<.(2)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根大于1,一个根小于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理,得f(1)=5-2a<0,解得a>.(3)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内,结合二次函数的单调性与零点存在性定理,得解得<a<.10.已知函数f(x)=2x3-1(x∈R).(1)证明:函数f(x)在(0.5,1)内有一个零点;(2)求出f(x)在区间(0.5,1)内零点的近似解.(精确度为0.1)解:(1)证明:函数f(x)=2x3-1在区间[0.5,1]上连续.且f(1)=2-1=1>0,f(0.5)=-1<0,所以函数f(x)在(0.5,1)内有一个零点.(2)由(1)知f(0.5)<0,又f(1)>0,所以方程2x3-1=0在(0.5,1)内有实数根.如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如下表:6 (a,b)(a,b)的中点f(a)f(b)f(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)<0(0.75,1)0.875f(0.75)<0f(1)>0f(0.875)>0(0.75,0.875)0.8125f(0.75)<0f(0.875)>0f(0.8125)>0因为|0.8125-0.75|=0.0625<0.1,所以方程2x3-1=0的一个近似解可取为0.75.[B级 综合运用]11.(多选)已知y=f(x)是定义在R上的函数,下列命题正确的是(  )A.若f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)>0,则其在(a,b)内没有零点B.若f(x)在区间(a,b)上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,则其在(a,b)内有零点C.若f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,则其在(a,b)内有零点D.若f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线且单调,又f(a)·f(b)<0成立,则其在(a,b)内有且只有一个零点解析:选CD 对于A,函数y=x2,满足f(-1)·f(1)>0,在(-1,1)内有零点,故A不正确;对于B,若f(x)在区间(a,b)上的图像是条连续不断的曲线,f(a)=-1,f(b)=1,且在(a,b)上f(x)>0恒成立,此时满足f(a)·f(b)<0,但是其在(a,b)内没有零点,故B不正确;对于C,若f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,根据零点的存在定理,可得在(a,b)内有零点,故C正确;对于D,若f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线且单调,又f(a)·f(b)<0成立,根据零点的存在定理,在(a,b)内有且只有一个零点,故D正确.故选C、D.12.(多选)已知函数f(x),g(x)的图像分别如图①②所示,方程f(g(x))=1,g(f(x))=-1,g(g(x))=-的实根个数分别为a,b,c,则(  )A.a+b=cB.b+c=aC.ab=cD.b+c=2a6 解析:选AD 由题图,方程f(g(x))=1,-1<g(x)<0,此时对应4个解,故a=4;方程g(f(x))=-1,得f(x)=-1或f(x)=1,此时有2个解,故b=2;方程g(g(x))=-,g(x)取到4个值,如图所示:即-2<g(x)<-1或-1<g(x)<0或0<g(x)<1或1<g(x)<2,则对应的x的解有6个,故c=6.根据选项,可得A,D成立.故选A、D.13.已知函数f(x)=如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为________.解析:作出函数y=-x2-2x和y=x-4的图像,如图所示,要使函数f(x)恰有两个零点,则-2≤m<0或m≥4,即实数m的取值范围是[-2,0)∪[4,+∞).答案:[-2,0)∪[4,+∞)14.在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段查找,困难很多,每查一个点需要很长时间.(1)维修线路的工人师傅应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?(2)要把故障可能发生的范围缩小到50m~100m左右,最多要查多少次?解:(1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E来查,依次类推……(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此只要7次就够了.[C级 拓展探究]15.对于函数f(x),若存在x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=x2+bx+c.6 (1)若f(x)的两个不动点为-3,2,求函数f(x)的零点;(2)当c=b2时,函数f(x)没有不动点,求实数b的取值范围.解:(1)由题意知f(x)=x有两根,即x2+(b-1)x+c=0有两根,分别为-3,2.∴∴从而f(x)=x2+2x-6.由f(x)=0,得x1=-1-,x2=-1+.故f(x)的零点为-1±.(2)若c=,则f(x)=x2+bx+,又f(x)无不动点,即方程x2+bx+=x无解,化简得方程x2+(b-1)x+=0无解,∴Δ=(b-1)2-b2<0,即-2b+1<0,∴b>.故b的取值范围是.6 查看更多

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