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23函数的零点三个“二次”间的关系课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

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函数的零点、三个“二次”间的关系[A级 基础巩固]1.(多选)下列说法正确的是(  )A.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)B.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1C.y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点D.y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标解析:选BD 根据函数零点的定义,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,也就是函数y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此,只有说法B、D正确,故选B、D.2.函数f(x)=x3-4x的零点为(  )A.(0,0),(2,0)     B.(-2,0),(0,0),(2,0)C.-2,0,2D.0,2解析:选C 令f(x)=0,得x(x-2)(x+2)=0,解得x=0或x=±2,故选C.3.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y60-4-6-6-406则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是(  )A.{x|x<-2或x>3}B.{x|x≤-2或x≥3}C.{x|-2<x<3}D.{x|-2≤x≤3}解析:选A 由表格可知,函数的图像开口向上,且零点为x=-2,x=3,因此图像关于直线x=对称,从而一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.4.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是(  )A.B.RC.D.∅解析:选A 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图像与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项.5.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x5 -3)>0的解集是(  )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)解析:选A 由题意,知a>0,且1是ax-b=0的根,所以a=b>0,所以(ax+b)(x-3)=a(x+1)(x-3)>0,所以x<-1或x>3,因此原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).6.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有________个.解析:∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),∴由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2.答案:37.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为________.解析:由f(x)=x,得或解得x=1+或x=1.答案:1,1+8.已知函数f(x)=若f(a)≤3,则a的取值范围是________.解析:当a≥0时,a2+2a≤3,所以0≤a≤1;当a<0时,-a2+2a≤3,所以a<0.综上所述,a的取值范围是(-∞,1].答案:(-∞,1]9.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.解:(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解得m<;由Δ=0,可解得m=;由Δ<0,可解得m>.5 故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;当m>时,函数无零点.(2)因为0是对应方程的根,有1-m=0,可解得m=1.10.解下列不等式:(1)(x2+3x-4)(x-1)(-8x+24)≤0;(2)<0.解:(1)原不等式等价于(x+4)(x-1)2·(x-3)≥0,令y=(x+4)·(x-1)2(x-3),得y=0对应的根为-4,1,3,其中1为双重根.把各因式的根在数轴上标出,如图所示.由图可得,原不等式的解集为{x|x≤-4或x=1或x≥3}.(2)法一:原不等式等价于 ①或 ②,解不等式组①得-2<x<1,解不等式组②得x<-3或x>3.故原不等式的解集为{x|x<-3或-2<x<1或x>3}.法二:将原不等式化为>0,即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0,各因式所对应的根分别为-3,-2,1,3,在数轴上标根并画出示意图,如图.故原不等式的解集为{x|x<-3或-2<x<1或x>3}.[B级 综合运用]11.存在x∈[-1,1],使得x2+mx-3m≥0,则m的最大值为(  )A.1B.C.D.-1解析:选C 若对于任意x∈[-1,1],不等式x2+mx-3m<0恒成立,则由函数f(x)=x2+mx-3m的图像可知解得m>.所以若存在x∈[-1,1],使得x2+mx-3m≥0,则m≤,所以m的最大值为.故选C.5 12.一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是(  )A.B.(-∞,-5)C.D.解析:选C 关于x的一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则解得-≤m<-5.故选C.13.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有________个零点,这几个零点的和等于________.解析:因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 014.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题:“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的取值范围.解:(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意,f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.(2)依题意,要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,只需即解得<a<.故实数a的取值范围为.[C级 拓展探究]15.若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3.5 (1)求f(x)在R的解析式;(2)若a∈R,g(x)=f(x)-a,试讨论a取何值时,g(x)零点的个数最多?最少?解:(1)当x=0时,f(0)=0;当x<0时,-x>0,根据定义可知,f(x)=-f(-x)=-(x2+4x+3)=-x2-4x-3,故f(x)=(2)在坐标系中,作出函数f(x)的图像.当a=0时,g(x)=f(x)-a有5个零点;当0<a<1或-1<a<0时,g(x)有4个零点;当a=±1时,g(x)有3个零点;当1<a<3或-3<a<-1时,g(x)有2个零点;当a≤-3或a≥3时,g(x)有1个零点;故a=0时,g(x)=f(x)-a零点的个数最多;a≤-3或a≥3时,g(x)零点的个数最少.5 查看更多

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