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22奇偶性的应用课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

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奇偶性的应用[A级 基础巩固]1.(多选)下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是(  )A.y=x2-2       B.y=C.y=|x|+D.y=解析:选AD 因为f(-x)=(-x)2-2=x2-2=f(x),所以y=x2-2是偶函数,在区间(0,1)上为增函数,符合题意;因为f(-x)==-=-f(x),y=是奇函数,不符合题意;因为f(-x)=|-x|+=|x|+=f(x),所以y=|x|+(x≠0)是偶函数,当x∈(0,1)时,y=x+单调递减,不符合题意;因为f(-x)===f(x),y=(x≠0)是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数,符合题意.故选A、D.2.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x+a-2,则(  )A.a=2B.f(2)=2C.f(x)是增函数D.f(-3)=-12解析:选ACD f(x)是R上的奇函数,故f(0)=a-2=0得a=2,故A对;对于B项,f(2)=4+2=6,故B错;对于C项,当x≥0时,f(x)=x2+x在[0,+∞)上为增函数,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0]上为增函数,故f(x)是R上的增函数,故C对;f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D对;故选A、C、D.3.(2020·天津高考)函数y=的图像大致为(  )解析:选A 法一:令f(x)=,显然f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,排除C、D,由f(1)>0,排除B,故选A.6 法二:令f(x)=,由f(1)>0,f(-1)<0,故选A.4.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是(  )A.f(-π)>f(3)>f(-2)B.f(-π)>f(-2)>f(3)C.f(3)>f(-2)>f(-π)D.f(3)>f(-π)>f(-2)解析:选A ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).5.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是(  )A.B.C.D.解析:选A 由题意得|2x-1|<⇒-<2x-1<⇒<2x<⇒<x<,故选A.6.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)=________.解析:当x<0时,-x>0,F(-x)=-2x-3,又F(x)为奇函数,故F(-x)=-F(x),∴F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.答案:2x+37.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)按从小到大的排列是________.解析:当m=1时,f(x)=6x+2不合题意;当m≠1时,由题意可知,其图像关于y轴对称,∴m=0,∴f(x)=-x2+2,∴f(x)在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递减.又0<1<2,∴f(0)>f(1)>f(2)=f(-2).答案:f(-2)<f(1)<f(0)8.已知函数f(x)=ax2+bx+c,能说明f(x)既是偶函数又在区间(0,6 +∞)上单调递减的一组整数a、b、c的值依次是a=________,b=________,c=_________.解析:由于函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数,则f(-x)=f(x),∴ax2-bx+c=ax2+bx+c,∴2bx=0对任意的x∈R恒成立,可得b=0,由于函数f(x)=ax2+c在(0,+∞)上单调递减,则a<0.因此,符合题意的一组整数a、b、c的值可以分别为a=-1,b=0,c=1.答案:-1 0 1(答案不唯一)9.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.解:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,∴由f(1-x)+f(1-2x)<0,得f(1-x)<-f(1-2x),∴f(1-x)<f(2x-1).又∵f(x)在(-1,1)上是减函数,∴解得0<x<,∴原不等式的解集为.10.已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解:F(x)在(-∞,0)上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则有-x1>-x2>0.因为y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,所以f(-x2)<f(-x1)<0.①又因为f(x)是奇函数,所以f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),②由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)-F(x2)=>0,即F(x1)>F(x2),所以F(x)=在(-∞,0)上是减函数.[B级 综合运用]11.(多选)函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2,恒有<0.则称函数f(x)为“理想函数”,下列三个函数中,是“理想函数”的有(  )6 A.f(x)=-2xB.f(x)=x2C.f(x)=D.f(x)=解析:选AC 对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数,对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2,恒有<0,即当x1<x2时,f(x1)>f(x2),则f(x)是定义域内的减函数,A、C、D是奇函数,B是偶函数,排除B项;A项,f(x)=-2x是减函数,满足题意;C项,f(x)=x2(x<0)是减函数,f(x)=-x2(x≥0)是减函数,而x1<0,x2≥0时,f(x1)>f(x2),f(x)在R上是减函数,满足题意;D项,f(x)=在定义域内不是减函数,不满足题意,故选A、C.12.设f(x)为偶函数,且在区间(-∞,0)内是增函数,f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为(  )A.(-1,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)解析:选C 根据题意,偶函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-2)=0,则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0,作出函数f(x)的草图如图所示,又由xf(x)<0,可得或由图可得-2<x<0或x>2,即不等式的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选C.13.设偶函数f(x)的定义域为R,函数f(x)在[0,+∞)上为单调函数,则满足f(x+1)=f(2x)的所有x的取值集合为________.解析:∵f(x)为偶函数,∴f(x+1)=f(|x+1|),f(2x)=f(|2x|).又函数f(x)在[0,+∞)上为单调函数,∴|x+1|=|2x|,∴x+1=2x或x+1=-2x,6 解得x=1或x=-.∴满足f(x+1)=f(2x)的所有x的取值集合为.答案:14.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.(1)求b的值;(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.解:(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(0)=0,解得b=0.(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上单调递增,因为f(m)+f(m-1)>0,所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以m-1>-m,①又不等式f(m)+f(m-1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义,所以②解①②得<m≤2,所以m的取值范围为.[C级 拓展探究]15.已知函数y=f(x)的定义域为R,满足对任意的x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0且f(1)=2.(1)求f(0)和f(2)的值;(2)证明f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)的单调性,并说明理由.解:(1)由题设,令x=y=0,恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2+2=4;(2)令y=-x,则由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0=f(x)+f(-x),即得f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.(3)函数f(x)是增函数,理由如下:任取x1<x2,则x2-x1>0,6 由题设x>0时,f(x)>0,可得f(x2-x1)>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,故有f(x2)>f(x1),所以f(x)是增函数.6 查看更多

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