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21奇偶性的概念课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

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奇偶性的概念[A级 基础巩固]1.函数f(x)=-x的图像(  )A.关于y轴对称    B.关于直线y=x对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称解析:选C ∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=--(-x)=x-=-f(x),∴f(x)是奇函数,图像关于原点对称.2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是(  )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析:选A 因为f(x)=ax2+bx+c是偶函数,所以由f(-x)=f(x),得b=0.所以g(x)=ax3+cx.所以g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.3.(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是(  )A.f(x)=(x-1)是偶函数B.f(x)=是奇函数C.f(x)=-x2+是非奇非偶函数D.f(x)=是奇函数解析:选BD 由≥0,即(x-1)(x+1)≤0,x≠1,解得-1≤x<1,所以函数的定义域是[-1,1),不关于原点对称,所以函数是非奇非偶函数,故A错误;设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x2-x,则f(-x)=-f(x),同理当x>0时,f(-x)=-f(x),所以函数是奇函数,故B正确;由x2-3≥0,解得x≥或x≤-,所以函数的定义域是(-∞,-]∪[,+∞)关于原点对称,又f(-x)=-(-x)2+=-x2+=f(x),所以函数是偶函数,故C错误;由即所以函数的定义域[-1,0)∪(0,1],f(x)=,又f(-x)==-=-f(x),所以函数是奇函数,故选B、D.6 4.已知奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则函数f(x-1)的图像为(  )解析:选D 奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1.设x<0,则-x>0,f(-x)=-x-1,∴-f(x)=-x-1,∴f(x)=x+1.综上可得,f(x)=故f(x-1)=其图像如图所示.即D选项满足条件,故选D.5.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(  )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|+g(x)是偶函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:选BC ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴|f(x)|是偶函数,|g(x)|是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,故选项A错误,C正确;由两个偶函数的和还是偶函数知B正确;由f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数,故D错误.故选B、C.6.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时f(x)的图像如图所示,不等式f(x)<0的解集用区间表示为________.解析:由f(x)在[0,6]上的图像知,满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3).又f(x)为奇函数,图像关于原点对称,所以在[-6,0)上,不等式f(x)<0的解集为[-6,6 -3).综上可知,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3)∪(0,3).答案:[-6,-3)∪(0,3)7.若定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m,n的值分别为________.解析:由已知得f(0)=0,故m=0.由f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x),即=-,∴x2-nx+1=x2+nx+1,∴n=0.答案:0,08.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=________.解析:设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.答案:-219.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图像;(2)根据图像写出函数y=f(x)的增区间;(3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合.解:(1)由题意作出函数图像如图:(2)据图可知,单调增区间为(-1,0),(1,+∞).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2).10.设函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x.(1)求f(x)的表达式;(2)证明f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.6 解:(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x(x<0).所以f(x)=(2)证明:设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(x+4x2)-(x+4x1)=(x2-x1)·(x2+x1+4).因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1+4>0,所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)是(0,+∞)上的增函数.[B级 综合运用]11.已知偶函数f(x)的定义域为(-3,3),且f(x)在[0,3)上是减函数,f(m-1)-f(3m-1)>0,则实数m的取值范围是(  )A.B.(-∞,0)∪C.∪D.解析:选C ∵f(x)为偶函数,且在[0,3)上是减函数,∴f(x)在(-3,0)上是增函数.f(m-1)-f(3m-1)>0可化为f(m-1)>f(3m-1),∵f(x)为偶函数,∴f(m-1)>f(3m-1)即为f(|m-1|)>f(|3m-1|).又f(x)在[0,3)上为减函数,∴解得m∈∪,故选C.12.我们知道,函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3+3x2图像的对称中心为(  )A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,2)D.(1,-2)解析:选A 设(a,b)为f(x)=x3+3x2图像的对称中心,则有y=f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b为奇函数,6 设g(x)=(x+a)3+3(x+a)2-b,则g(x)为奇函数;g(x)=x3+3(a+1)x2+3(a2+2a)x+a3+3a2-b,又g(-x)+g(x)=0,可得3(a+1)x2+a3+3a2-b=0,所以解得所以函数f(x)=x3+3x2图像的对称中心的坐标为(-1,2).故选A.13.给出定义:若m-<x≤m+(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:①函数y=f(x)的定义域是R,值域是;②函数y=f(x)是偶函数;③函数y=f(x)是奇函数;④函数y=f(x)在上是增函数.其中正确的命题是________(填序号).解析:化简函数解析式可得f(x)=x-{x}=则函数f(x)的图像,如图:由图像可知①④正确.答案:①④14.已知函数f(x)=是R上的偶函数.(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在(-∞,0]上的单调性;(3)求函数f(x)在[-3,2]上的最大值与最小值.解:(1)若函数f(x)=是R上的偶函数,6 则f(-x)=f(x),即=,解得m=0.(2)函数f(x)在(-∞,0]上单调递增.理由如下:由(1)知f(x)=,设任意的x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==.因为x1<x2≤0,所以x2+x1<0,x2-x1>0,(1+x)(1+x)>0,所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增.(3)由(2)知函数f(x)在(-∞,0]上是增函数.又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(x)在[-3,0]上为增函数,在[0,2]上为减函数,又f(-3)=,f(0)=1,f(2)=,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-3)=.[C级 拓展探究]15.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m,n使得h(x)=mx2+(m+n)x+2n,那么称h(x)为f(x),g(x)在R上生成的函数.设f(x)=x2+x,g(x)=x+2,若h(x)为f(x),g(x)在R上生成的一个偶函数,且h(1)=3,求函数h(x).解:h(x)=mf(x)+ng(x)=m(x2+x)+n(x+2)=mx2+(m+n)x+2n;∵h(x)为偶函数,∴m+n=0,①又h(1)=3,∴m+m+n+2n=3,②联立①②解得m=-3,n=3,∴h(x)=-3x2+6.6 查看更多

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