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14均值不等式课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

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均值不等式[A级 基础巩固]1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是(  )A.s≥t        B.s>tC.s≤tD.s<t解析:选A ∵b2+1≥2b,∴a+2b≤a+b2+1.2.下列不等式中正确的是(  )A.a+≥4B.a2+b2≥4abC.≥D.x2+≥2解析:选D 若a<0,则a+≥4不成立,故A错;取a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错;取a=4,b=16,则<,故C错;由均值不等式可知D项正确.3.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式中正确的是(  )A.ab≤B.ab≤C.≥D.≤解析:选ABC 由均值不等式知A、C正确,由重要不等式知B正确,由≥ab得,ab≤,∴≥,故选A、B、C.4.若a>b>0,则下列不等式成立的是(  )A.a>b>>B.a>>>bC.a>>b>D.a>>>b解析:选B a=>>>=b,因此只有B项正确.5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(  )5 A.≥(a>0,b>0)B.a2+b2≥2(a>0,b>0)C.≤(a>0,b>0)D.≤(a>0,b>0)解析:选D 由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=,又OC=OB-BC=-b=,则FC2=OC2+OF2=+=,再根据题图知FO≤FC,即≤,当且仅当a=b时取等号.故选D.6.已知a>b>c,则与的大小关系是________.解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴≤=.答案:≤7.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________.解析:用两种方法求出第三年的产量分别为A(1+a)(1+b),A(1+x)2,则有(1+x)2=(1+a)(1+b),∴1+x=≤=1+,∴x≤.当且仅当a=b时等号成立.答案:x≤8.已知函数y=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.解析:y=4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,5 此时y取得最小值4.又由已知x=3时,ymin=4,∴=3,即a=36.答案:369.已知a,b为正实数,且a+b=1.求证:+≥4.证明:由题意a,b为正实数,则+=+=1+++1=2++≥2+2=4.当且仅当a=b=时“=”成立.10.已知a,b,c为正数,求证:++≥3.证明:左边=+-1++-1++-1=++-3.∵a,b,c为正数,∴+≥2(当且仅当a=b时取“=”);+≥2(当且仅当a=c时取“=”);+≥2(当且仅当b=c时取“=”).从而++≥6(当且仅当a=b=c时取“=”).∴++-3≥3,即++≥3.[B级 综合运用]11.下列不等式一定成立的是(  )A.x+≥2B.≥C.≥2D.2-3x-≥2解析:选B A项中当x<0时,x+<0<2,∴A错误.5 B项中,=≥,∴B正确.而对于C,当x=0时,=<2,显然选项C不正确.D项中,取x=1,2-3x-<2,∴D错误.12.(多选)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有(  )A.ab>1B.ab<1C.<1D.>1解析:选BD 因为ab≤,a≠b,所以ab<1,又1==<,所以>1,所以ab<1<.13.设a,b为非零实数,给出不等式:①≥ab;②≥;③≥;④+≥2.其中恒成立的是________.解析:由重要不等式a2+b2≥2ab可知①正确;==≥==,故②正确;当a=b=-1时,不等式的左边为=-1,右边为=-,可知③不正确;令a=1,b=-1,可知④不正确.答案:①②14.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++.证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥,≥,≥,∴++≥++,即a+b+c≥++.由于a,b,c不全相等,∴等号不成立,∴a+b+c>++.5 [C级 拓展探究]15.已知a+b+c=3,且a,b,c都是正数.(1)求证:++≥;(2)是否存在实数m,使得关于x的不等式-x2+mx+2≤a2+b2+c2对所有满足题设条件的正实数a,b,c恒成立?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为a+b+c=3,且a,b,c都是正数,所以++=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=≥(3+2+2+2)=,当且仅当a=b=c=1时,取等号,所以++≥得证.(2)因为a+b+c=3,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2),因此a2+b2+c2≥3(当且仅当a=b=c=1时,取等号),所以(a2+b2+c2)min=3,由题意得-x2+mx+2≤3恒成立,即得x2-mx+1≥0恒成立,因此Δ=m2-4≤0⇒-2≤m≤2.故存在实数m∈[-2,2]使不等式成立.5 查看更多

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