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9一元二次方程的解集及其根与系数的关系课时检测(附解析新人教B版必修第一册)

资料简介

一元二次方程的解集及其根与系数的关系[A级 基础巩固]1.一元二次方程x2=3x的解集是(  )A.{0}         B.{3}C.{-3}D.{0,3}解析:选D ∵x2=3x,∴x2-3x=0,∴x(x-3)=0,解得x1=0,x2=3,故选D.2.用配方法解下列方程,配方正确的是(  )A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=4B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=8C.x2+8x-9=0可化为(x+4)2=16D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4解析:选D A项:2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=3,故A错误;B项:x2-2x-9=0可化为(x-1)2=10,故B错误;C项:x2+8x-9=0可化为(x+4)2=25,故C错误;D项:x2-4x=0可化为(x-2)2=4,故D正确.故选D.3.一元二次方程x2+6x+9=0的解集情况是(  )A.只有一个元素B.有两个元素C.为空集D.不能确定有几个元素解析:选A ∵Δ=62-4×1×9=0,∴一元二次方程x2+6x+9=0有两个相等的实数根,故选A.4.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(  )A.2B.0C.1D.2或0解析:选B 设方程x2+(a2-2a)x+a-1=0两根为x1,x2,由题意知,x1+x2=0,即-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2,又∵x1x2=a-1≤0,∴a≤1.故选B.5.若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是(  )A.(-1,+∞)B.(-∞,0)C.(-1,0)D.[-1,0)解析:选D 设关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根为a,b,由根与系数的关系得a+b=-=-(2k+4).5 ∵关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,∴-(2k+4)>-4,∴k<0.由Δ=[2(k+2)]2-4×1·k2=16(k+1)≥0,解得k≥-1,即k的取值范围是[-1,0).故选D.6.若方程x2-mx+m-1=0的一个实数根为2,则方程的另一个实数根为________.解析:设另一个根为a.根据题意可得a+2=m,2a=m-1,∴a+2=2a+1,∴a=1,∴另一个根为1.答案:17.在解方程x2+px+q=0时,甲同学看错了p,解得方程的根为x1=1,x2=-3;乙同学看错了q,解得方程的根为x1=4,x2=-2,则方程中的p=________,q=________.解析:甲同学看错了p,但没有看错q,乙同学看错了q,但没有看错p,所以根据根与系数的关系,得q=(-3)×1=-3,p=-(-2+4)=-2.答案:-2 -38.已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3,1},则关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是________.解析:把后面一个方程m(x+a-2)2+n=0中的x-2看作整体,相当于前面一个方程中的x.∵关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3,1},∴方程m(x+a-2)2+n=0可变形为m[(x-2)+a]2+n=0,此方程中x-2=-3或x-2=1,解得x=-1或x=3.∴关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是{-1,3}.答案:{-1,3}9.若关于x的方程x2+2x-m+1=0没有实数根,试说明关于x的方程x2+mx+12m=1一定有实数根.解:∵方程x2+2x-m+1=0没有实数根,∴此方程的判别式Δ=22-4×1×(-m+1)<0,解得m<0.而方程x2+mx+12m=1的根的判别式Δ′=m2-4×1×(12m-1)=m2-48m+4,∵m<0,∴m2>0,-48m>0.∴m2-48m+4>0,即Δ′>0,∴方程x2+mx+12m=1有两个不等的实数根,即一定有实数根.10.已知一元二次方程x2-4x+k=0的解集中有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;5 (2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.解:(1)由一元二次方程x2-4x+k=0的解集中有两个不相等的实数根,得Δ=b2-4ac=(-4)2-4k>0,解得k<4.(2)由k是符合条件的最大整数,得k=3,∴一元二次方程为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.∵一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,∴当x=1时,把x=1代入x2+mx-1=0,得1+m-1=0,解得m=0;当x=3时,把x=3代入x2+mx-1=0,得9+3m-1=0,解得m=-.综上,m=0或m=-.[B级 综合运用]11.若a,b,c为△ABC的三边长,且关于x的一元二次方程(c-b)x2+2(b-a)x+2(a-b)=0有两个相等的实数根,则这个三角形是(  )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形解析:选A 根据题意,得Δ=[2(b-a)]2-4(c-b)·2(a-b)=0,(a-b)(a-b-c+b)=0,所以a-b=0或a-c=0,所以a=b或a=c,又c-b≠0,c≠b,所以这个三角形为等腰三角形.12.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是(  )A.7B.11C.12D.16解析:选D ∵m,n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根,∴由根与系数的关系,得m+n=2t,mn=t2-2t+4,∴(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=t2+2t+8=(t+1)2+7.∵方程有两个实数根,5 ∴Δ=(-2t)2-4(t2-2t+4)=8t-16≥0,∴t≥2.∴(t+1)2+7≥(2+1)2+7=16,即(m+2)(n+2)的最小值是16.13.已知关于x的方程k2x2+2(k-1)x+1=0有实数根.(1)实数k的取值范围为________;(2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8,则实数k的值为________.解析:(1)当k=0时,方程为-2x+1=0,解得x=,符合题意;当k≠0时,Δ=[2(k-1)]2-4k2=-8k+4≥0,解得k≤.综上,当k≤时,方程有实数根.(2)设方程的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=,所以==[-2(k-1)]2=8,解得k=1+或k=1-,由(1)知当方程有两个实数根时,k≤,且k≠0,所以k=1-.答案:(1)k≤ (2)1-14.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.解:(1)根据题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,解得m≥-.∴m的最小整数值为-2.(2)根据题意,得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2.∵(x1-x2)2+m2=21,∴(x1+x2)2-4x1x2+m2=21,∴[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21,整理,得m2+4m-12=0.解得m1=2,m2=-6.由(1)可知m≥-,∴m的值为2.[C级 拓展探究]5 15.在学习解一元二次方程之后,对于某些不是一元二次方程的方程,我们也可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如:方程:x2-3|x|+2=0.其解法为:设|x|=y,则原方程可化为:y2-3y+2=0(y≥0).解得:y1=1,y2=2.当y=1时,|x|=1,∴x=±1;当y=2时,|x|=2,∴x=±2.∴原方程的解是:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.上述解方程的方法叫做“换元法”.请用“换元法”解决下列问题:(1)解方程:x4-10x2+9=0;(2)若实数x满足x2+-3x-=2,求x+的值.解:(1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a+9=0(a≥0),即(a-1)(a-9)=0,解得:a=1或a=9,当a=1时,x2=1,∴x=±1;当a=9时,x2=9,∴x=±3.∴原方程的解是x1=1,x2=-1,x3=3,x4=-3.(2)设x+=y,则原方程可化为y2-2-3y=2,即y2-3y-4=0,∴(y+1)(y-4)=0,解得:y=-1或y=4,即x+=-1(方程无解,舍去)或x+=4,故x+=4.5 查看更多

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