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习题课 对数函数图像与性质的应用必备知识基础练1.已知函数f(x)=ln(1-x)的定义域为A,函数g(x)=x2-2x-3的值域为B,则下列关系正确的是( )A.A⊆BB.A∩B={x|-4<x<1}C.A∪B=RD.B⊆A答案C解析∵A={x|x<1},B={y|y≥-4},∴A∩B={x|-4≤x<1},A∪B=R.2.若函数f(x)=ax-k-1(a>0且a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图像是( )答案A解析由题意可知f(2)=0,解得k=2,所以f(x)=ax-2-1,又f(x)在定义域R上是减函数,所以0<a<1.此时g(x)=loga(x+2),定义域为(-2,+∞),单调递减,且过点(-1,0),故选A.3.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是( ) A.(-∞,7]B.(2,7]C.[7,+∞)D.(2,+∞)答案B解析∵lg(2x-4)≤1,∴0<2x-4≤10,解得2<x≤7,∴x的取值范围是(2,7],故选B.4.(多选题)已知0<a<b<1,则下列不等式恒成立的是( )6
A.a>bB.lna>lnbC.D.答案ACD解析因为0<a<b<1,y=x为减函数,所以a>b,因为0<a<b<1,y=lnx为增函数,所以lna<lnb<0.又因为y=在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上也为减函数,所以,同理可得,.5.不等式lo(5+x)<lo(1-x)的解集为 . 答案{x|-2<x<1}解析不等式满足解得-2<x<1.6.(2020甘肃天水高二期末)函数f(x)=lo(-x2+5x+6)的单调递减区间是 ,最小值为 . 答案-1, 2-2log27解析由-x2+5x+6>0得-1<x<6,所以f(x)的定义域为(-1,6),由于y=-x2+5x+6的开口向下,对称轴为x=,y=lox在(0,+∞)上单调递减.根据复合函数单调性同增异减可知,f(x)的单调递减区间为-1,.函数y=-x2+5x+6,当x=时,y取得最大值,所以函数f(x)=lo(-x2+5x+6)的最小值为f(x)=lo=2-2log27.7.(2020山西大同高二月考)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0且a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间上的最大值.解(1)f(1)=loga2+loga2=loga4=2,解得a=2.6
故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),则解得-1<x<3,故f(x)的定义域为(-1,3).(2)函数f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(3-x)(1+x),定义域为(-1,3),⊆(-1,3),由函数y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,函数y=(3-x)(1+x)在区间[0,1)上单调递增,在区间上单调递减,可得函数f(x)在区间[0,1)上单调递增,在区间上单调递减.故f(x)在区间上的最大值为f(1)=log24=2.关键能力提升练8.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0且a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D解析由图像可知y=loga(x+c)的图像是由y=logax的图像向左平移|c|个单位长度得到的,其中0<c<1.再根据单调性易知0<a<1.9.已知函数f(x)=loga(2x-a)(a>0且a≠1)在区间上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是( )A.,1B.,1C.,1D.,1答案A解析当0<a<1时,函数f(x)在区间上是减函数,所以loga-a>0,即0<-a<1,解得<a<,故<a<1;当a>1时,函数f(x)在区间上是增函数,所以loga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时无解.综上所述,实数a的取值范围是,1.10.若f(x)=lgx,g(x)=f(|x|),则g(lgx)>g(1)时,x的取值范围是 . 6
答案0,∪(10,+∞)解析因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)>f(1),由f(x)为增函数得|lgx|>1,从而lgx>1或lgx<-1,解得x>10或0<x<.11.已知函数f(x)=loga(x+3)在区间[-2,-1]上总有|f(x)|<2,则实数a的取值范围为 . 答案0,∪(,+∞)解析∵x∈[-2,-1],∴1≤x+3≤2.当a>1时,loga1≤loga(x+3)≤loga2,即0≤f(x)≤loga2.∵|f(x)|<2,∴解得a>.当0<a<1时,loga2≤loga(x+3)≤loga1,即loga2≤f(x)≤0.∵|f(x)|<2,∴解得0<a<.12.已知关于x的不等式(log3x)2-2log3x-3≤0的解集为M.(1)求集合M;(2)若x∈M,求函数f(x)=[log3(3x)]·log3的最值.解(1)由(log3x)2-2log3x-3≤0,得-1≤log3x≤3,解得≤x≤27,因此,M=.(2)令t=log3x,∵x∈,27,∴t∈[-1,3].∴f(x)=(log3x+log33)(log3x-log381)=(t+1)(t-4),令y=(t+1)(t-4)=t-2-,当t=时,f(x)min=ymin=-,又当t=-1时,y=0,当t=3时,y=-4,∴f(x)max=0.因此,函数y=f(x)在区间M上的最大值为0,最小值为-.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.6
解(1)当x<0时,-x>0,由题意知f(-x)=loga(-x+1),又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-x)=f(x).∴当x<0时,f(x)=loga(-x+1),∴函数f(x)的解析式为f(x)=(2)∵-1<f(1)<1,∴-1<loga2<1,∴loga<loga2<logaa.①当a>1时,原不等式等价于解得a>2;②当0<a<1时,原不等式等价于解得0<a<.综上,实数a的取值范围为0,∪(2,+∞).学科素养创新练14.(2020重庆高一期末)设函数f(x)=log3(9x-k·3x-3),其中k为常数.(1)当k=2时,求f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[1,+∞),关于x的不等式f(x)≥x恒成立,求实数k的取值范围.解(1)当k=2时,函数f(x)=log3(9x-2·3x-3),要使函数有意义,只需要9x-2·3x-3>0,即(3x+1)·(3x-3)>0,解得3x<-1或3x>3.∵3x>0,∴3x>3,解得x>1,即函数的定义域为(1,+∞).(2)∵f(x)=log3(9x-k·3x-3),∴9x-k·3x-3>0,即k<=3x-.∵x∈[1,+∞),∴3x∈[3,+∞),∴3x-∈[2,+∞),∴k的取值范围是(-∞,2).又log3(9x-k·3x-3)≥x恒成立,可得9x-k·3x-3≥3x恒成立,∴k+1≤=3x-,∴k+1≤3x-min=2,即k≤1.6
故实数k的取值范围是(-∞,1].6
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