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函数的应用(二)必备知识基础练1.某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( ) A.300只B.400只C.500只D.600只答案A解析当x=1时,y=100,得a=100,故当x=7时,y=100log28=300.2.今有一组数据如下表所示:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )A.s=2t-3+1B.s=log2tC.s=t2-D.s=2t-2答案C解析画出数据点如图所示.8
由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图像不是直线,排除选项D;此函数的图像不符合对数函数的图像,排除选项B.3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)( )A.6B.9C.8D.7答案BC解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则,即,由nlg≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥≈7.4.4.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了akm,休息了一段时间,又沿原路返回bkm(b<a),再前进ckm,则此人与起点的距离s与时间t的关系示意图是( )答案C5.一名体育爱好者为了观看2022年世界杯,从2015年开始,每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄.假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2022年5月10日将所有的存款和利息全部取出,则可取回的总钱数为( )A.a(1+p)7B.a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p)C.a(1+p)8D.a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)答案B解析2021年存到银行的钱到期时的本利和为a(1+p),2020年的钱到期时的本利和是a(1+p)2,依次类推,2015年第一次存款到期时的本利和应为a(1+p)7,相加得选项B正确.8
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图像大致为( )答案C7.一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,则成本y随经过的年数x变化的函数关系为 . 答案y=a(1-p%)x(x∈N+,且x≤m)8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2000·ln.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒. 答案e6-1解析当v=12000时,2000·ln=12000,∴ln=6.∴=e6-1.9.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.你会选择哪种投资方案?解设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数f1(x)=40(x∈N+)进行描述;方案二可用函数f2(x)=10x(x∈N+)进行描述;方案三可用函数f3(x)=0.4×2x-1(x∈N+)进行描述.8
作出以上三个函数在[0,+∞)上的图像,如图所示.由图像可知,每天所得回报,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一、二同样多;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三最多.我们再看累计回报(单位:元),列表如下:方案天数1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8从上表可知,投资7天以内(不含7天),应选择第一种投资方案;投资7天,选择第一、二种方案均可;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天以上(含11天),应选择第三种投资方案.关键能力提升练10.衣柜里的樟脑丸体积会随着时间挥发而缩小.若刚放进衣柜里的新樟脑丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt,且新樟脑丸经过50天后,体积变为a,则一个新樟脑丸体积变为a需经过的天数为( )A.75B.100C.125D.150答案A解析根据题意可知a=a·e-50k,8
解得k=-ln.①把V=a代入关系式得a=a·e-kt,即e-kt=,则-kt=ln,将①代入可知,t=ln=3ln=75.故选A.11.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )A.出租车一次行驶4km,乘客需付费9.6元B.出租车一次行驶10km,乘客需付费25.45元C.某人乘坐两次出租车,每次均行驶5km,两次的费用超过他一次乘出租车行驶10km的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9km答案BCD解析出租车一次行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;出租车一次行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;设出租车一次行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.12.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,令m2=-1.45,m1=-26.7,则lg(m2-m1)=(-1.45+26.7)=10.1,=1010.1,故选A.13.8
如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中正确的是 .(填序号) 答案①③解析由图像可得,当t=2时,y=,即a2=,解得a=.故y=.所以当t=4时,有害物质的剩留量为y=,所以①正确;第一个月减少的有害物质量为1-;第二个月减少的有害物质量为,显然两者不同,所以②错误;③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.14.某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c(a≠0),如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?解设f(x)=px2+qx+r(p≠0).由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,得解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.8
∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.∴f(4)=1.3.设g(x)=abx+c(a≠0).由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,得解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4.∴g(4)=1.35.∵|1.3-1.37|>|1.35-1.37|,∴用y=-0.8×0.5x+1.4作模拟函数较好.15.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=其中t为关税的税率,且t∈,x(单位:元)为市场价格,b,k为正实数,当t=时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图像求k,b的值;(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.解(1)由题图可知t=时,图像过点(5,1),(7,2),所以有解得(2)当P=Q时,得,解得t==-.令m=,∵x≥9,∴m∈,在t=-(17m2-m-2)中,其图像的对称轴为直线m=,且,且图像开口向下,所以当m=时,t取得最小值,此时x=9.8
学科素养创新练16.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么从实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒?解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y是关于时间t的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图像是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=,而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入得1=,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=.综上,血液中麻醉剂的含量y与时间t之间的解析式为y=(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=.当t>0.1时,由,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时,病人才能清醒.8
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