资料简介
指数函数与对数函数的关系必备知识基础练1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( ) A.log2xB.loxC.D.x2答案B解析函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数是f(x)=logax,由a=loga,得f(x)=lox.2.(2020山东聊城高一检测)已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是( )A.0B.1C.-1D.答案A解析因为f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.3.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( )A.[-1,1]B.(-∞,0]C.[-2,4]D.[2,4]答案AC解析y=2|x|在[-1,1]和[-2,4]上不是单调函数,所以不存在反函数.4.已知a>0且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是( )5
答案C解析由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,∴0<a<1.∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.5.已知函数y=ax+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a= ,b= . 答案3 1解析由函数y=ax+b的图像过点(1,4),得a+b=4;由其反函数的图像过点(2,0),得原函数的图像必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.6.函数y=的反函数是 . 答案y=解析当x<0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x<1;当x≥0时,y=ex的反函数是y=lnx,x≥1.故原函数的反函数为y=7.求出下列函数的反函数.(1)y=lox; (2)y=; (3)y=πx;(4)y=解(1)对数函数y=lox的底数为,所以它的反函数是指数函数y=.(2)指数函数y=的反函数是对数函数y=lox=-lnx.(3)指数函数y=πx的反函数为对数函数y=logπx.(4)①当x∈[-1,0)时,y∈(0,1],此时x=-,得原函数的反函数是y=-,x∈(0,1];5
②当x∈[0,1]时,y=x2-1,y∈[-1,0],此时x=,得原函数的反函数是y=,x∈[-1,0].∴函数y=的反函数为y=关键能力提升练8.(2020四川泸县高二月考)已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( )A.-7B.-9C.-11D.-13答案C解析∵当x>0时,f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,∴当x>0时,f(x)=2x,∴当x>0时,g(x)=2x+x2.又g(x)是奇函数,∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.9.(2020山东临沂高一检测)已知函数f(x)=3x,函数g(x)是f(x)的反函数,若正数x1,x2,…,x2018,x2019满足x1·x2·…·x2018·x2019=243,则g()+g()+…+g()+g()+g()的值等于( )A.4B.8C.10D.32答案C解析∵函数f(x)=3x,函数g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=log3x,∴g()+g()+…+g()+g()+g()=log3(x1·x2·…·x2018·x2019)2=2log3(x1·x2·…·x2018·x2019)=2log3243=2log335=10.10.(2020上海高一期末)函数f(x)=x2-1(x<0)的反函数f-1(x)= . 答案-(x>-1)解析当x<0时,f(x)=x2-1>-1,由y=x2-1对调x,y得x=y2-1,解得y=-,因此,f-1(x)=-(x>-1).5
11.(2021上海交大附中高一考试)若函数y=x2+(a-4)x+3-a,x∈[0,1]没有反函数,则a的取值范围是 . 答案(2,4)解析因为函数y=x2+(a-4)x+3-a,x∈[0,1]没有反函数,则函数在定义域内不单调,又函数的对称轴为x=,所以0<<1,解得2<a<4.12.已知函数f(x)=(x∈R,x≠0),其中a为常数,且a<0.(1)若f(x)是奇函数,求a的取值集合A;(2)当a=-1时,设f(x)的反函数为f-1(x),且y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于y=x对称,求g(1)的取值集合B.解(1)由于函数y=f(x)为奇函数,且定义域为{x|x≠0},则f(-1)=-f(1).∵f(1)==a2+2a-2,f(-1)==-2a2-a+4,∴-2a2-a+4=-a2-2a+2,整理得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.∵a<0,∴a=-1,∴f(x)==-,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-=-=-=-f(x),此时,函数y=f(x)为奇函数,合乎题意.因此,A={-1}.(2)当a=-1时,y=f(x)=,可得y(1-2x)=1+2x,得2x=,∴x=log2,所以,f-1(x)=log2.由于y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于y=x对称,则g(1)为方程f-1(x+1)=1的实数解,解方程f-1(x+1)=1,即log2=1,变形得=2,解得x=-4,即g(1)=-4.5
因此,B={-4}.学科素养创新练13.已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.因为f(x)+f(-x)==0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y=对调x,y后,得x=,所以2y=(-1<x<1).所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以所以所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.5
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