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向量的概念必备知识基础练1.(多选题)下列说法不正确的是( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小答案ABC解析向量之间不能比较大小,但向量的模可以比较大小.故只有选项D说法正确.2.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是( )A.B.C.共线D.答案D解析如图,∵的方向相同,长度相等,∴A中结论正确;∵B,O,D三点在一条直线上,∴,B中结论正确;∵AB∥CD,∴共线,C中结论正确;∵方向不同,∴D中结论错误.故选D.3.在四边形ABCD中,||=||,且,则四边形ABCD的形状一定是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形4
答案C解析因为,所以BA∥CD,BA=CD,所以四边形ABCD是平行四边形.又||=||,所以AB=AD,所以四边形ABCD是菱形,故选C.4.若向量a与任意向量b都平行,则a= ;若|a|=1,则向量a是 . 答案0 单位向量解析由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于|a|=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.5.设a0,b0分别是与非零向量a,b方向相同的单位向量,则下列结论中正确的是 .(填序号) ①a0=b0;②a0=-b0;③|a0|+|b0|=2;④a0∥b0.答案③解析因为a0,b0是单位向量,|a0|=1,|b0|=1,所以|a0|+|b0|=2.6.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= . 答案2解析易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得BO=,则BD=2BO=2,即||=2.7.如图,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与相等的向量;(2)写出与共线的向量;(3)写出与模相等的向量.4
解(1).(2)与共线的向量有.(3)与模相等的向量有.关键能力提升练8.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法错误的是( )A.与相等的向量只有一个(不含)B.与的模相等的向量有9个(不含)C.的模为模的倍D.不共线答案D解析A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以||=|;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以共线.故选D.9.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,若||=3,则向量的模为 . 答案6解析在▱ABCD和▱ABDE中,易知,∴,∴E,D,C三点共线.∴||=||+||=2||=6.10.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是 .(填序号) 答案①③④4
解析若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.学科素养创新练11.如图,A1,A2,…,A8是☉O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8及圆心O九个点中任意两点分别为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径倍的向量有多少个?解(1)模等于半径的向量只有两类,一类是(i=1,2,…,8)共8个;另一类是(i=1,2,…,8)也有8个,两类合计16个.(2)以A1,A2,…,A8为顶点的☉O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7;另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的倍.所以模为半径的倍的向量共有4×2×2=16(个).4
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