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复数的几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|D [①任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；②由复数相等的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．]2．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限B [依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cosx，sinx)，故e2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.]3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( )A．－1B．4C．－1和4D．－1和6C [由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.]4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D [∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．]4
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )A．－＋iB．－iC．－－iD．＋iD [设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.]二、填空题6．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.3 [复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.]7．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．－1－5i [因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.]8．复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为__________．± [由|z|＝＝，得a＝±.]三、解答题9．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，求复数z.[解] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i.10．在复平面内，分别求实数m的取值范围，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的对应点，(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得∴4
∴－1＜m＜1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.1．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝( )A．4＋5B．5＋4iC．3＋4iD．5＋4i或＋iD [设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，∴或故选D.]2．复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B [复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当<m<1时，P在第四象限，当m＝时，P在虚轴上，当m＝1时，P在实轴上，故选B.]3．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________.±i [因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则|z－1|＝|ai－1|＝.又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，所以a＝±1，即z＝±i.]4．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值为________． [∵|x－2＋yi|＝，∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．4
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.]5．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝sinθ＋icosθ，当θ为何值时，(1)z1＝z2；(2)z1，z2对应点关于x轴对称；(3)|z2|<.[解] (1)z1＝z2⇔⇒⇒θ＝2kπ＋(k∈Z)．(2)z1与z2对应点关于x轴对称⇒⇒⇒θ＝2kπ＋π(k∈Z)．(3)|z2|<⇒＜⇒3sin2θ＋cos2θ＜2⇒sin2θ＜⇒kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．4
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